Un problema di probabilita'

Messaggioda david_e » 23/09/2005, 09:52

L'altro giorno mi e' venuto in mente questo quesito, tuttavia non riesco a risolverlo. E' una cosa che ha abbastanza interesse pratico e che penso si possa risolvere per via analitica in modo accademico, per cui mi sembra interessante postarvelo:


Immaginiamo di trovarci ad un incrocio a T nella "parte bassa della T": dobbiamo immetterci, girando a sinistra, su una strada molto trafficata. Non ci sono semafori e abbiamo l'obbligo di dare la precedenza. Voi sapete che ci sono 2 possibilita': l'incrocio puo' essere strutturato a T semplice ovvero ci sono le due corsie della strada di scorrimento e basta; o, chi ha progettato l'incrocio, ha messo una terza corsia in mezzo di "attesa" dove uno puo' posizionarsi quando non arriva nessuno da sinistra e aspettare il momento che non arrivi nessuno da destra. Questa parte e' abbastanza importante per cui se non sono stato chiaro chiedete.

In pratica possiamo schematizzare i due casi:
1. Aspettiamo che non passi nessuno da destra e da sinistra quindi ci immettiamo.
2. Aspettiamo che non passi nessuno da sinistra, andiamo nella corsia in mezzo, aspettiamo che non passi nessuno da destra e ci immettiamo nella strada.

Ora possiamo immaginare che il sindaco del nostro paese si rivolga a voi illustri matematici perche' ha questo problema: deve creare una immissione sulla statale (ha una corsia per senso di marcia) (a T) e vuole sapere qual'e' il tempo medio di attesa per poter entrare nel primo caso e qual'e' il tempo medio di attesa nel secondo per poter decidere come realizzare l'incrocio.

Dato il problema io ho iniziato a modellizarlo cosi':

1. Trascuriamo l'effetto delle macchine che dalla provinciale si immettono nella strada secondaria.

2. Per poterci infilare in sicurezza e' necessario che nella corsia che dobbiamo attraversare accada che il tempo di arrivo della macchina successiva sia maggiore di \tau. Ovvero abbiamo bisogno che per un tempo \tau la corsia sia libera.

3. Nel caso di incrocio a T "semplice" facciamo finta che il tempo per attraversare entrambe le corsie sia \tau: quando si guarda la posizione delle macchine sulla provinciale per decidere quando e' il momento di immettersi non si fanno distinzioni fra le macchine che vengono da destra o da sinistra. Se sono lontane almeno un certo tot. (soppesato alla velocita') in entrambe le direzioni si passa.

4. L'arrivo delle macchine da destra e da sinistra si puo' modellizzare con due processi di Poisson.

E qui arrivano i guai: come si fa a esprimere la variabile aleatoria "tempo dopo il quale si crea un varco per passare" per poi calcolarne la media?

*** EDIT ***
Il mio modo di modellizare il problema non e' vincolante. Se pensate di usare altre V.A. per risolvere il quesito va bene lo stesso.
david_e
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Messaggioda Marvin » 23/09/2005, 18:41

Credo che una esponenziale vada bene
in genere è quella che si utilizza
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Messaggioda david_e » 23/09/2005, 18:59

Si, ci avevo pensato, ma l'esponenziale non modellizza il tempo fra 2 arrivi successivi? A me servirebbe una variabile che abbia come supporto R_+ e che modellizzi la probabilita' di trovare un varco.

Ovvero in termini matematici (e forse piu' chiari di queste oscure parole):

Immagine

Cioe' con l'esponenziale trovo la probabilita' che non arrivino (o arrivi una) macchine per un certo tempo; ma a me interessa sapere la probabilita' che entro un certo tempo si crei un varco!

Non so' se sono stato chiaro... [:(] ma non riesco a spiegarmi meglio!

In altre parole non so come rendere l'idea del varco nel traffico! Con l'esponenziale posso calcolare la probabilita' che ci sia un varco fra il veicolo che sta passando al tempo zero e quello successivo, ma non riesco a calcolare la probabilita' che si formi un varco entro un periodo \tau!
david_e
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Messaggioda Marvin » 24/09/2005, 11:02

hum,provo a vedere sul mio libro se trovo qlc di simile ma non credo dato che me ne ricorderei...
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Messaggioda Marvin » 27/09/2005, 17:23

ho provato a cercare su vecchie dispense ma di problemi simili al tuo nessuna traccia...credo cmq che non sarei in grado di darti un aiuto concreto.
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Messaggioda david_e » 28/09/2005, 10:10

Si anche io ho spulciato il libro e non ho trovato nulla... temo che il problema rimarra' senza soluzione!

Comunque se qualcuno e' in grado di dare una mano e ha voglia di farlo ben venga ogni aiuto!
david_e
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