Calcolo densità marginali

[magri]

Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la densità congiunta:

$f (x, y) = c e^{-(x+y)} I(0,+∞) (x)I(x,+∞) (y)$

dove c è la solita costante opportuna.
a) Trova $c$;
b) trova le densita` marginali di $X, Y .$
c) trova $P (X > Y -1)$

i risultati sono $c=2$ e quì ci sono e poi $fX (x) =2e^{-2x} I(0,+∞) (x)$ e anche questo mi viene

Poi dovrebbe risultare $fY (y) =2e^{-2y}(e^{y}-1) I(0,+∞) (y)$..e questo proprio non mi salta fuori e anzi penso sia errato il risultato
c) mi sono arenato

[magri]

mi rispondo da solo

allora per trovare $c$ basta imporre che

$ int_(0)^(+oo)dxint_(x)^(+oo)dy e^-(x+y) =1$ si integra prima in $y$ e poi in $x$ e otteniamo correttamente che $c=2$

poi passiamo alle densità marginali

$f_(X ) (x)=2int_(x)^(+00) e^-(x+y) dy =[ -2e^-(x+y) ]_x^(+00)=2e^{-2x}I(0,+oo)(x) $ come da risultato

invece $f_(Y ) (y)=2int_(0)^(+00) e^-(x+y) dx =[ -2e^-(x+y) ]_0^(+00)=2e^-yI(0,+oo)(y)$ giusto??


e non $f_(Y ) (y)=2e^{-2y} (e^y-1) (0,+oo)(y)$ come invece dovrebbe essere il risultato..dove sbaglio??

[DajeForte]

[quote="magri"]

$f (x, y) = c e^{-(x+y)} I(0,+∞) (x)I(x,+∞) (y)/quote]
Questa è la densità congiunta. Fatti un disegno della parte di piano dove la variabile aleatoria doppia scarica probabilità.
È data dalla parte dove il prodotto di quei due indicatori è 1.
Sbagli gli estremi dintegrazione, daltronde quella che ottieni non è una densità di probabilità.

[magri]

sbaglio gli estremi di integrazione nel calcolare $ f_Y (y) $ ?

La zona del piano dovrebbe essere sotto l'esponeziale con esponente negativo e sotto la bisettrice del primo quadrante ossia dove $x=y$ ma poi comunque non riesco ad andare oltre

[DajeForte]

Nel piano l'esponenziale non c'entra nulla. La regione dove si distribuisce la v.a. doppia è il primo quadrante, tracci la bisettrice, e prendi la parte superiore.

Quindi gli estremi di integrazione in x sono 0 ed y.

[magri]

infatti integrando da $0$ a $y$

$int_(0)^(y) 2e^-(x+y)dx=2[-e^-(x+y)]_0^y =-2e^{-2y} +2e^-y=2e^{-2y}(e^y-1)$

quindi se capisco bene$ I(x,+oo)(y)$e $I(0,+oo)(x)$ è equivalente a dire che $0<x<y<+oo$ giusto?

Ho poi risolto anche l'ultima domanda ossia
C) trova la $P(X>Y-1)$

che ho risolto così $P(X>Y-1)=int_(x)^(x+1) dy int_(0)^{+oo} dx (2e^-(x+y))$

integro prima in $x$ e poi in $y$

ottenendo $1-e^{-1}={e-1}/e$ come da risultato..mi chiedo se è corretto o se "l'ho fatto " risultare giusto!

[DajeForte]

Sul'insieme che cercavi ok.
Qua fondamentalmente è giusto (se poi te lo dice anche il risultato).

$P(X>Y-1)=int_(x)^(x+1) dy int_(0)^{+oo} dx (2e^-(x+y))$

Però qua vedi che l'integrae in y ha gli estremi in x.

$int_0^{+ infty}dx int_x^{x+1}2e^{-x-y}\ dy$

In definitiva non è poi così importante in che ordini integri: fatti un disegno della regione che devi integrare e poi decidi quale sarà l'integrale che sarà esterno e quale interno.

EDIT: rileggendomi non so se sono stato chiaro. Se non lo sono stato, chiedi.

[magri]

si si dovrei aver capito

Grazie per l'aiuto

[mobley]

allora per trovare $ c $ basta imporre che
$ int_(0)^(+oo)dxint_(x)^(+oo)dy e^-(x+y) =1 $ si integra prima in $ y $ e poi in $ x $ e otteniamo correttamente che $ c=2 $

In definitiva non è poi così importante in che ordini integri: fatti un disegno della regione che devi integrare e poi decidi quale sarà l'integrale che sarà esterno e quale interno.

Anzitutto mi scuso con la moderazione per il "necroposting" ma questo post ha aperto dei seri dubbi che non potevo fare a meno di chiarire. L'utente DajeForte dice (come finora avevo sempre creduto anch'io) che non è importante l'ordine di integrazione: è sufficiente individuare correttamente l'intervallo di integrazione per le due variabili e quindi scegliere quale sarà l'integrale più interno e quale quello più esterno. Tuttavia, nel calcolo della costante come postato dall'utente magri, non sembrerebbe così.
In primis non capisco la scelta degli intervalli di integrazione. $\mathbb(1)_{(0,+\infty)}(x)$ equivale a $(0<x<+\infty)$, così come $\mathbb(1)_{(x,+\infty)}(y)$ equivale a scrivere $(x<y<+\infty)$. Se è così, allora dovremmo avere $0<x<y<+\infty$. Quindi mi chiedo:
1) perchè non si ottiene il valore corretto della costante imponendo $1=c\int_(x)^(+\infty)e^(-y)[\int_(0)^(y)e^(-x)dx]dy$? Io ho scelto di integrare prima per $x$ e poi per $y$ (e non il contrario, come invece fatto dall'utente), e ho imposto come intervalli di integrazione quelli previsti dal dominio su scritto. Ne segue allora la seconda domanda:
2) perchè nel calcolo della costante si devono imporre gli intervalli di integrazione previsti dalle funzioni indicatrici mentre nel calcolo delle densità marginali quelli previsti dal dominio? Non capisco… D'altronde sempre $0<x<y<+\infty$ abbiamo.

Spero che qualcuno sappia darmi una risposta esauriente.
Grazie in anticipo

[tommik]

1) perchè non si ottiene il valore corretto della costante imponendo $1=c\int_(x)^(+\infty)e^(-y)[\int_(0)^(y)e^(-x)dx]dy$?

Perché non sei capace di integrare....

In questo caso, essendo correttamente $0<x<y<oo$ l'ordine di integrazione è ininfluente¹ e si può fare in entrambi i sensi

1) x-semplice

$int_0^(oo)dxint_x^(oo)f(x,y)dy$


2) y-semplice

$int_0^(oo)dyint_0^y f(x,y)dx$

Sia che tu stia calcolando una cosa oppure un'altra

.....per favore...i necropost....ci sono centinaia di esercizi identici già risolti

grazie

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Note

1. l'ordine di integrazione può essere anche obbligato a seconda della funzione integranda ↑