Precisamente, sono le possibili combinazioni di n elementi presi a gruppi di k, dove due gruppi si intendono distinti se differiscono tra loro per la natura di almeno un elemento.
Ad esempio, consideriamo l'insieme $A={A,B,C,D,E}$. Quante sono le possibili combinazioni prendendo i suoi elementi a gruppi di due, considerando due gruppi diversi tra loro se hanno almeno un elemento diverso, indipendentemente dall'ordine in cui si presentano?
Partiamo considerando diversi due gruppi anche se differisce l'ordine in cui si presentano gli elementi. Sarebbero:
- Codice:
ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED
BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED
CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED
DAB DAC DAE DBA DBC DBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC
EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC
Che in formula sarebbe $D_{n,k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$, ovvero, ogni elemento per i restanti.
Cioè $5*4*3=60$
Poichè $ABC=BAC=CAB=ACB=BCA=CBA$, perchè l'ordine non conta, dobbiamo togliere tutti i risultati identici; che sono calcolabili come le permutazioni degli oggetti del gruppo, cioè $P{k}=k!$ (in questo caso 3!=6).
Nell'esempio visto, sarebbe $D_{5,3}/P_{3}=60/6=10$:
- Codice:
ABC ABD ABE ACD ACE ADE
BCD BCE BDE
CDE
Quindi le combinazioni semplici possono essere viste come le disposizioni di $n$ oggetti a gruppi di $k$ diviso le permutazioni di $k$ oggetti.
$C_{n,k}=D_{n,k}/P_{k}=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/(k!)=((n),(k))$.