Distribuzioni

[CiUkInO]

Un piccolo aiutino grazie .

Ho letto che posso associare alla funzione $f(x)=1/x $ una distribuzione nonostante $f(x)$ non sia di classe $L_{Loc}^1 $. Sfruttando l'integrazione nel senso del valore principale.

Ma si può fare una cosa del genere? non cadono le ipotesi che stanno alla base delle teoria delle distribuzioni?

Altre eventuali considerazioni sono sempre ben accette....

Grazie a tutti!

[Kroldar]

la distribuzione da te citata non è una distribuzione regolare, verissimo, ma è pur sempre una distribuzione. la locale sommabilità non è una condizione necessaria affinché un funzionale lineare sia una distribuzione
se $x in L_{loc}^1$ allora è una distribuzione regolare, altrimenti non è regolare ma non è detto che non sia una distribuzione.
nella fattispecie, la distribuzione $v.p. 1/t$ ha senso semplicemente sfruttando la derivabilità delle funzioni test, derivabilità che discende direttamente dalla definizione di funzione test

[CiUkInO]

la distribuzione da te citata non è una distribuzione regolare, verissimo, ma è pur sempre una distribuzione. la locale sommabilità non è una condizione necessaria affinché un funzionale lineare sia una distribuzione
se $x in L_{loc}^1$ allora è una distribuzione regolare, altrimenti non è regolare ma non è detto che non sia una distribuzione.
nella fattispecie, la distribuzione $v.p. 1/t$ ha senso semplicemente sfruttando la derivabilità delle funzioni test, derivabilità che discende direttamente dalla definizione di funzione test

Ok fin quà ci sono,ma una distribuzione per definizione non deve essere comunque limitata per qualsiasi funzione test?
Se ad esempio prendo una funzione test che in un intorno di zero vale 1 non è più limitata.

Forse sto dicendo cose inesatte però per ora non mi si richiede un approfondimento dettagliato delle distribuzi, per cui sono rimasto un po in superficie.

Grazie.

[Kroldar]

Ok fin quà ci sono,ma una distribuzione per definizione non deve essere comunque limitata per qualsiasi funzione test?

infatti quella distribuzione è limitata a prescindere dalla funzione test...

esiste una semplice dimostrazione di quello che ho accennato... se ti interessa te la posto

[CiUkInO]

esiste una semplice dimostrazione di quello che ho accennato... se ti interessa te la posto

Se non chiedo troppo si!

Grazie della tua pazienza.

[Kroldar]

figurati ci vogliono 5 minuti per scriverla...
per ogni funzione test $phi$ risulta:
$<v.p. 1/t,phi> = v.p. int_-oo^(+oo)(phi(t))/tdt$ $=$
$lim_{epsilonto0+}(int_epsilon^(+oo)(phi(t))/tdt+int_(-oo)^(-epsilon)(phi(t))/tdt)$
ora facciamo una sostituzione nel secondo integrale e poniamo $t=-t$... risulta
$lim_{epsilonto0+}int_epsilon^(+oo)(phi(t)-phi(-t))/tdt = int_0^(+oo)(phi(t)-phi(-t))/tdt$

ora viene la consapevolezza di aver detto una stupidaggine prima... $2phi'(0)$ non è il valore della distribuzione, ma dell'ultimo integrando calcolato nell'origine (visto che le funzioni test per definizione sono derivabili)... effettivamente ricordavo male (sono svariati mesi che ho abbandonato l'argomento ahimé)

cmq l'ultimo integrale converge proprio perché l'integrando in 0 è limitato... essendo limitato deve avere una discontinuità eliminabile

EDIT: idiozia nel post precedente eliminata con successo

[CiUkInO]

Ok ti ringrazio...

Adesso devo fuggire, dopo ci do un occhio con più calma...

Grazie