figurati ci vogliono 5 minuti per scriverla...
per ogni funzione test $phi$ risulta:
$<v.p. 1/t,phi> = v.p. int_-oo^(+oo)(phi(t))/tdt$ $=$
$lim_{epsilonto0+}(int_epsilon^(+oo)(phi(t))/tdt+int_(-oo)^(-epsilon)(phi(t))/tdt)$
ora facciamo una sostituzione nel secondo integrale e poniamo $t=-t$... risulta
$lim_{epsilonto0+}int_epsilon^(+oo)(phi(t)-phi(-t))/tdt = int_0^(+oo)(phi(t)-phi(-t))/tdt$
ora viene la consapevolezza di aver detto una stupidaggine prima... $2phi'(0)$ non è il valore della distribuzione, ma dell'ultimo integrando calcolato nell'origine (visto che le funzioni test per definizione sono derivabili)... effettivamente ricordavo male (sono svariati mesi che ho abbandonato l'argomento ahimé)
cmq l'ultimo integrale converge proprio perché l'integrando in 0 è limitato... essendo limitato deve avere una discontinuità eliminabile
EDIT: idiozia nel post precedente eliminata con successo