Successione, dubbio su un passaggio algebrico

Messaggioda Bertucciamaldestra » 28/04/2017, 21:48

Buonasera!
qualcuno può spiegarmi come passo da $a_(n)= 2^((n-1)/2) * root_(1- root_(1-4^(1-n) x_(n-1)^2)_( ))_( )$ a $a_(n)= x_(n-1) * root_(2/(1+ root_(1-4^(1-n) x_(n-1)^2)_( )))_() $ tramite razionalizzazione?
Grazie mille :-)
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Re: Successione, dubbio su un passaggio algebrico

Messaggioda pilloeffe » 29/04/2017, 02:06

Ciao Bertucciamaldestra,

sfruttando la ben nota identità $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ove, nel tuo caso, $a - b$ è ciò che sta sotto la prima radice quadrata, cioè $1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_(n-1)^2}$:

$1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_(n-1)^2} = frac{(1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2})(1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2})}{1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2}} = frac{4^{1 - n} x_{n - 1}^2}{1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2}}$

A questo punto, portando fuori dalla radice il termine $x_{n - 1}^2$ e dentro il termine $2^{(n-1)/2}$, nella frazione sotto radice a numeratore si ha:

$2^{n-1} \cdot 4^{1 - n} = 2^{n-1} \cdot 2^{2 - 2n} = 2^{n - 1 + 2 - 2n} = 2^{1 - n}$

Per cui in definitiva, salvo errori di calcolo, mi risulta

$a_n = x_{n - 1} \cdot sqrt{frac{2^{1 - n}}{1+ sqrt(1 - 4^{1-n} x_{n - 1}^2}}$

ove si intende che $x_{n - 1} > 0$, altrimenti ci vuole il modulo: $|x_{n - 1}|$.
pilloeffe
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Re: Successione, dubbio su un passaggio algebrico

Messaggioda Bertucciamaldestra » 30/04/2017, 08:47

pilloeffe ha scritto:Ciao Bertucciamaldestra,

sfruttando la ben nota identità $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ove, nel tuo caso, $a - b$ è ciò che sta sotto la prima radice quadrata, cioè $1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_(n-1)^2}$:

$1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_(n-1)^2} = frac{(1 - sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2})(1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2})}{1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2}} = frac{4^{1 - n} x_{n - 1}^2}{1 + sqrt{1-4^{1 - n} x_{n - 1}^2}}$

A questo punto, portando fuori dalla radice il termine $x_{n - 1}^2$ e dentro il termine $2^{(n-1)/2}$, nella frazione sotto radice a numeratore si ha:

$2^{n-1} \cdot 4^{1 - n} = 2^{n-1} \cdot 2^{2 - 2n} = 2^{n - 1 + 2 - 2n} = 2^{1 - n}$

Per cui in definitiva, salvo errori di calcolo, mi risulta

$a_n = x_{n - 1} \cdot sqrt{frac{2^{1 - n}}{1+ sqrt(1 - 4^{1-n} x_{n - 1}^2}}$

ove si intende che $x_{n - 1} > 0$, altrimenti ci vuole il modulo: $|x_{n - 1}|$.


Chiarissimo, ora tutto torna! Grazie infinite :-D :-D
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