Scomposizione polinomio

[Shika93]

Ho un problema nello scomporre questa funzione:

$H(z)=(1-4z^-1+4z^-2)/(1-0.7z^-1+0.1z^-2)$

Nella soluzione mi da $H(z)=40+(24z^-1-39)/((1-0.5z^-1)(1-0.2z^-1))$
E' il numeratore che non riesco a scomporre.

[pilloeffe]

Ciao Shika93,

Beh, per il numeratore si ha:

$1-4z^-1+4z^-2 = 1 - frac{4}{z} + frac{4}{z^2} = frac{z^2 - 4z + 4}{z^2} = frac{(z - 2)^2}{z^2} = (frac{z - 2}{z})^2 = (1 - 2z^{-1})^2$

[Shika93]

Si, che in realtà è da dove arrivo. Quello che ho scritto è già soluzione di roba calcolata prima. Non capisco come passare da quello, alla soluzione che mi da il testo.
Per il denominatore non c'è problema perchè faccio praticamente ciò che hai detto tu, ma il numeratore non riesco a capire come fa a diventare così.

Avendo poi $H(z)$ (è una funzione di trasferimento) finale, posso riscriverla ancora come $H(z)=40+A/(1-0.5z^-1) +B/(1-0.2z^-1)$ così da calcolarmi l'anti trasformata Z che sarà una delta e due scalini, al più shiftati.

[@melia]

Posto $z^(-1)=t$ la frazione diventa
$ H(z)=(1-4t+4t^2)/(1-0.7t+0.1t^2) $ adesso devi fare la normale divisione tra polinomi
$(4t^2-4t+1):(0.1t^2-0.7t+1)$ ottieni come quoziente $40$ e come resto $24t-39$

[pilloeffe]

Brava melia, che mi ha battuto sul tempo...

Shika93, l'idea è di applicare la scomposizione di Hermite, che però come sai si può applicare solo se il numeratore ha grado inferiore al denominatore. Se questo non accade, come nel tuo caso, si fa prima la normale divisione fra polinomi:

$frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + frac{R(x)}{D(x)}$

ove $Q(x)$ è un polinomio (anche di grado $0$) e $deg[R(x)] < deg[D(x)]$, quindi possiamo applicare la scomposizione di Hermite alla frazione $frac{R(x)}{D(x)}$.

[Shika93]

Non ricordo di averlo mai visto questo tipo di scomposizione. Non c'è un modo per evitare la divisione in colonna? Una cosa un po' più rapida, insomma.

[pilloeffe]

Non ricordo di averlo mai visto questo tipo di scomposizione.

E' la stessa che si utilizza anche per le normali divisioni fra numeri: ad esempio $15 : 4 = frac{15}{4} = 3 + frac{3}{4}$
solo che nella divisione fra numeri di solito non si riporta sotto il dividendo $15$ il $- 12$ (cioè il risultato del prodotto $3 \cdot 4$ cambiato di segno) per ottenere il resto $3$ come invece si fa coi polinomi...

Non c'è un modo per evitare la divisione in colonna?

Che t'ha fatto la divisione in colonna?
Ci sarebbe il metodo di Ruffini, ma vale solo se il divisore è di primo grado (o è comunque scomponibile in fattori di primo grado). Il metodo più generale è la divisione in colonna fra polinomi.

[@melia]

Un altro modo c'è anche se devi stare attento a non perdere pezzi
$(4t^2-4t+1)/(0.1t^2-0.7t+1)=(4t^2-4t+1)/(1/10(t^2-7t+10))=$ osservando che $4t^2:t^2=4$ al numeratore devo ottenere 4 volte il denominatore più quello che rimane

$=10*(4t^2-28t+40+24t-39)/(t^2-7t+10) =$

$=10* (4(t^2-7t+10)+24t-39)/(t^2-7t+10) =$

$=10* (4*(t^2-7t+10))/(t^2-7t+10) + (24t-39)/(t^2-7t+10)=$

$=40+10*(24t-39)/(t^2-7t+10)$ o, se preferisci

$=40+(24t-39)/(1/10*(t^2-7t+10))=40+(24t-39)/(0.1t^2-0.7t+1)$

[Shika93]

Si, mi sa che è meglio la divisione o mi perdo qualcosa.

Non ho niente contro le divisioni in colonna, infatti penso sia il miglior trade off. Grazie a tutti!