Esercizio sugli integrali

Messaggioda otta96 » 18/08/2017, 22:07

C'era un esercizio che stavo cercando di fare sugli integrali, ma non mi riesce, il testo è questo: sia $f:[a,b]->RR$ continua, non negativa, si dimostri che $\lim_{n->+\infty} root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx)=max_{a<=x<=b}f(x)$.
So che dovrei postare un mio tentativo, ma non mi viene in mente proprio nulla, potreste darmi una spintarella nella direzione giusta?
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda ciampax » 18/08/2017, 22:19

La butto lì: Teorema della media? (Ho troppo sonno e mi bruciano gli occhi, non riesco a scrivere più di tanto).
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda spugna » 19/08/2017, 09:28

Siano $M $ il valore massimo di $f $, $x_0 in [a,b]$ un punto tale che $f (x_0)=M $, e $L $ il limite cercato. Fissaro $alpha in (0,M) $, chiaramente $f (x_0)>alpha $, ma allora per continuità $f (x)>alpha$ in un intervallo, quindi, se $g $ è la funzione costantemente uguale ad $alpha$ in tale intervallo e costantemente nulla nel suo complementare, risulta $g <= f <= M $. Per confronto, calcolando gli integrali e passando al limite si trova $alpha <= L <= M $, e per l'arbitrarietà di $alpha $ si conclude.
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 19/08/2017, 11:08

@ spugna

Ti dispiace postare i passaggi? Non ho compreso come fai a proteggerti dal fatto che l'ampiezza dell'intervallo in cui $[f(x)>alpha]$ può tendere a zero. Ad ogni modo, è un risultato noto che, nel caso in cui $f:[a,b]->RR$ sia continua e non negativa:

$[||f||_n=root(n)(\int_{a}^{b}f(x)^ndx)] ^^ [||f||_oo=max_{a<=x<=b}f(x)] rarr [\lim_{n \to \infty}||f||_n=||f||_oo]$

Tuttavia, anche se potrei sbagliarmi, ho l'impressione che la dimostrazione sia un po' più articolata.
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Re:

Messaggioda otta96 » 19/08/2017, 13:38

anonymous_0b37e9 ha scritto:è un risultato noto

Non per me, sto cercando di farlo per la prima volta.
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda otta96 » 19/08/2017, 13:44

@spugna ma come fai a dire che il limite esiste?
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 19/08/2017, 14:19

otta96 ha scritto:Non per me, sto cercando di farlo per la prima volta.

Questo lo immaginavo. Era solo per dire che, nella peggiore delle ipotesi, la dimostrazione dovrebbe essere reperibile.
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda otta96 » 19/08/2017, 14:22

Ah ok, avevo frainteso, scusa.
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda Bremen000 » 19/08/2017, 15:11

Io conosco una dimostrazione che usa la teoria della misura ma non so se è quello che stai cercando...
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Re: Esercizio sugli integrali

Messaggioda otta96 » 19/08/2017, 15:14

In effetti preferirei dimostrarlo limitandomi alle conoscenze di analisi 1, avendolo trovato su un libro di analisi 1.
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