Fubini/Tonelli

Messaggioda Lebby » 12/12/2017, 01:13

Ciao a tutti.

Non ho ben capito la differenza sostanziale tra questi due teoremi di riduzione.
Le premesse sono che f sia misurabile per ogni x appartenente al dominio D meno un sottoinsieme N di ℝ a misura nulla. Allora l'integrale doppio esteso al Dominio D è uguale all'integrale doppio esteso a D-N ed è uguale all'integrale in dx per l'integrale in dy. So inoltre che qualora D fosse semplice rispetto ad un asse (ad esempio x) e anche semplice rispetto all'asse y allora è corretto scrivere $(int_(a)^(b) f(x,y) dx int_(c)^(d) dy ) = (int_(a)^(b) dx int_(c)^(d) f(x,y) dy )$ ovvero è possibile invertire l'ordine di integrazione e il risultato è invariante. La mia domanda è la seguente: come mai il teorema di Tonelli chiede anche la positività della funzione integranda mentre con Fubini posso baipassare questa ipotesi? Chiedo aiuto, non riesco a capire cosa effettivamente uno mi dica più dell'altro.

Grazie d'anticipo
Lebby
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Re: Fubini/Tonelli

Messaggioda Lebby » 13/12/2017, 02:44

Ok penso di aver capito. Fubini chiede l'integrabilità della funzione integranda quindi deve valere che l'integrale del modulo di f sul dominio deve essere finito perché qualora fosse infinito la funzione non sarebbe integrabile in senso generalizzato (e quindi ne riemann ne labesgue integrabile). Devo quindi usare Tonelli per verificare l'integrabilità di |f| (qualora non sapessi gia che fosse integrabile) perché è nelle ipotesi di funzione misurabile e positiva, e qualora risultasse integrabile allora posso applicare Fubini e studiare l integrale di f decomponendo il dominio. La f per Tonelli può essere maggiore o uguale a zero perché tanto lo zero è misurabile e ha misura nulla. Sto sbagliando o mi sono completamente perso in ciò che ho detto?
Lebby
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Re: Fubini/Tonelli

Messaggioda dissonance » 13/12/2017, 10:27

TL;DR (significa che non ho letto ciò che hai scritto)

In ogni caso la differenza è che Tonelli richiede che la funzione integranda sia non negativa, nel qual caso puoi scambiare gli integrali come più ti piace senza ulteriori ipotesi. Fubini riguarda il caso generale (funzioni che possono cambiare segno, o avere valori complessi) e richiede che la funzione integranda sia assolutamente convergente.
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Re: Fubini/Tonelli

Messaggioda Lebby » 13/12/2017, 21:11

Ti ringrazio Dissonance, effettivamente mi ero scordato che l'implicazione f integrabile volesse dire che convergesse l'integrale del suo modulo. Effettivamente è una condizione essenziale per gli integrali impropri e me l ero scordata, ti ringrazio :)
Lebby
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