Integrale improprio

[melli13]

Calcolare: $lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx$

$lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx = lim_{n \to \infty} ( int_{0}^{n^2} (senx)/x dx - int_{0}^{n} (senx)/x dx)$
$lim_{n \to \infty} int_{0}^{n^2} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$
$lim_{n \to \infty} int_{0}^{n} (senx)/x dx = int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$
$=>lim_{n \to \infty} int_{n}^{n^2} (senx)/x dx=0$

E' giusto così oppure mi sto perdendo qualcosa?
Ora devo solo far vedere che $int_{0}^{+oo} (senx)/x dx = pi/2$, ma l'abbiamo già dimostrato in classe.
Grazie mille.

[otta96]

È giusto, ma vorrei farti notare che non serve sapere che l'integrale fa $pi/2$, l'unica cosa che ci serve sapere è che converge, che è una cosa molto più facile da dimostrare rispetto a calcolare il valore preciso.

[Bremen000]

Io che sono un fan del teorema del valor medio integrale ti propongo questa altra maniera:

Sia $n \in NN_0$:

$\int_{n}^{n^2} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{\sin(a_n)}{a_n} $

con $a_n \in [n,n^2]$ e dunque $n <= a_n <= n^2$ cioè $\frac{1}{n^2} <= \frac{1}{a_n} <= \frac{1}{n}$ e quindi $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} =0$ dunque

$\lim_{n \to \infty} \int_{n}^{n^2} \frac{\sin(x)}{x}dx = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(a_n)}{a_n} =0$.

EDIT: tutto molto brutto, mi sono perso la lunghezza dell’intervallo!

[melli13]

@otta96: Si hai proprio ragione. La questione era più semplice di quello che pensavo
@Bremen000: Non capisco solo una cosa: che fine ha fatto la lunghezza dell'intervallo $n^2-n$? E' ininfluente per il limite?

[Bremen000]

Eh si! Me lo son perso, e quindi la mia dimostrazione va a farsi benedire!

[melli13]

@Bremen000: Ahahah mi fa piacere che non sono l'unica fusa da esami
Grazie mille per il tuo supporto! Ti sto rubando molto tempo in questi giorni...

[Bremen000]

Eh si, a volte mi partono proprio delle scemenze!
Tranquilla, è solo che fai domande su argomenti che mi piacciono e che ho un po’ studiato!

[melli13]

@Bremen000 Meno male e grazie ancora