da Pigreco2016 » 19/04/2018, 10:43
Ora vi riporto il testo dell'esercizio:
"Un raggio luminoso passa da un mezzo dove viaggia con velocità $c_1$ ad un altro mezzo nel quale viaggia con velocità $c_2$, separato dal primo da un piano, connettendo due punti $A$ (giace nel primo mezzo) e $B$ (giace nel secondo mezzo). Determinare il punto di rifrazione del raggio, utilizzando il principio di Fermat dell'esercizio precedente".
Nell'esercizio precedente veniva richiesto di trovare il punto di riflessione (e qua sono riuscito a cavarmela).
Dal testo dell'esercizio io deduco che conosco solamente la posizione dei due punti e devo ricavare la posizione del punto di rifrazione, quindi non conosco né seno di angoli né distanze dei punti dal punto di rifrazione. Conoscendo i due punti e $A$ e $B$ (che prendo come nel mio primo messaggio) arrivo a ricercare gli zeri di quella derivata che mi porta ad una equazione di quarto grado veramente rognosa da risolvere! Quindi (dopo molto tempo) ho scelto di procedere in maniera inversa: cioè fisso il punto di rifrazione nell'origine del riferimento e e mi scelgo due punti a caso $A:=(x_0,y_0)$ $B:=(x_1,y_1)$. Il principio di Fermat mi dice che devo minimizzare la seguente funzione:
$f(x)=\sqrt{(x_0-x)^2+y_0^2}/c_1+sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}/c_2$. Ora dato che il punto di riflessione deve essere $x=0$, devo imporre la condizione $0=f'(0)$ che mi porta a
$\frac(x_0)(c_1\sqrt{x_0^2+y_0^2})-\frac(x_1)(c_2sqrt{x_1^2+y_1^2})=0$.
Ora quello che mi interessa è ricavare $x_0$ (cosa semplice) e mi trovo (supponendo che $A$ stia nel secondo quadrante e $B$ nel quarto quadrante):
$x_0=-\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Dopo aver ricavato $x_0$, faccio un cambio di riferimento che mi porta $A:=(x_0,y_0)$ in $A':=(0,y_0)$ e $B:=(x_1,y_1)$ in $B':=(x_1-x_0,y_1)$. Ora posso formulare questo ragionamento: posso scegliere i due punti $A$ e $B$ come
$A:=(0,y_0)$ e $B:=(x_1+\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2}),y_1)$ e di conseguenza so che il punto di rifrazione è proprio $x:=\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Voi che ne dite? In questa maniera riesco a ad evitare di risolvere l'equazione di quarto grado (sarebbe interessante verificare che quella equazione con i vincoli che impone il problema ha sempre due soluzioni complesse coniugate e due reali di cui una da escludere). L'unico inconveniente è che devo scegliere il punto $B$ in quella brutta maniera.