Limite successioni.

[vivi96]

il secondo è infinitesimo perche ho n e -n?
Quindi fa 0

[gugo82]

il secondo è infinitesimo perche ho n e -n?

Il secondo è infinitesimo perchè il seno è una funzione continua e appena faccio il calcolo del limite del suo argomento mi accorgo che il limite è $0$.

Quindi fa 0

Certo.

[pilloeffe]

Ciao vivi96,

Per convincerti che il secondo fattore tende a $0$, puoi osservare che si ha:

$ sin frac{sqrt{n+1} - sqrt{n}}{2} = sin frac{(sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n})}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = sin frac{n+1 - n}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = $
$ = sin frac{1}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} $

e l'ultimo termine scritto tende a $0$ per $n \to +\infty $

[Datolo]

Non so se è sensato il mio ragionamento (mi scuso nel caso fosse sbagliato), ma ho pensato che si potrebbe fare
$$\lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}\sim \lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n}-\sin\sqrt{n}=0$$
Poiché per $n\to\infty$, $1$ è trascurabile rispetto a $n$.

[dissonance]

Non so se è sensato il mio ragionamento (mi scuso nel caso fosse sbagliato), ma ho pensato che si potrebbe fare
$$\lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}\sim \lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n}-\sin\sqrt{n}=0$$
Poiché per $n\to\infty$, $1$ è trascurabile rispetto a $n$.

In questo caso hai ottenuto un risultato corretto. Adesso applichiamo lo stesso ragionamento al calcolo del limite
\[
\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2.\]
Siccome \((n+1)^2\sim n^2\),
\[
\lim_{n\to\infty} (n+1)^2-n^2=\lim_{n\to \infty} n^2 - n^2 = 0. \]
Giusto?

Eppure, cavolo! Se sviluppiamo il quadrato, abbiamo che
\[
(n+1)^2-n^2= n^2+2n+1 -n^2 = 2n+1 \to +\infty !!!\]

Cosa è andato storto?

[Datolo]

Nel limite $\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2$ avrei svolto il quadrato di binomio, non avrei pensato a $(n+1)^2$ $\sim$ $n^2$
Però effettivamente è lo stesso ragionamento che ho fatto nell'altro limite. Come mai in questo caso non vale? O è una coincidenza che venga uguale nell'altro esercizio?

[gugo82]

Nel limite $\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2$ avrei svolto il quadrato di binomio, non avrei pensato a $(n+1)^2$ $\sim$ $n^2$
Però effettivamente è lo stesso ragionamento che ho fatto nell'altro limite. Come mai in questo caso non vale? O è una coincidenza che venga uguale nell'altro esercizio?

Semplicemente, \(\sim\) si può usare in scioltezza in presenza di prodotti e rapporti, ma può fare brutti scherzi con somme e differenze.

Nel caso in esame, si potrebbe ragionare così.
Abbiamo:
\[
(n + 1)^2 - n^2 = n^2\ \underbrace{\left[ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^2 - 1\right]}_{\sim 2/n} \sim 2n \to +\infty
\]
ritrovando il risultato corretto.

[dissonance]

Semplicemente, ∼ si può usare in scioltezza in presenza di prodotti e rapporti, ma fa brutti scherzi con somme e differenze.

Ottima sintesi. Di questo si è parlato in un altro topic proprio ieri:

viewtopic.php?p=8347944#p8347944

[Datolo]

Capito, grazie!