No, ad entrambi.
Il problema è che non avete chiara la differenza tra condizione sufficiente e condizione necessaria, dunque applicate malamente il
Teorema sull'esattezza delle forme chiuse in un aperto semplicemente connesso, il quale nel caso bidimensionale asserisce:
Siano $Omega subseteq RR^2$ un aperto ed $omega := a(x,y) " d"x + b(x,y) " d" y$ una forma differenziale definita e di classe $C^1$ in $Omega$.
Se $Omega$ è semplicemente connesso e se $omega$ è chiusa in $Omega$ (ossia, se risulta $a_y(x,y)=b_x(x,y)$ in $Omega$), allora $omega$ è esatta in $Omega$ (cioè, esiste una funzione $U:Omega -> RR$ di classe $C^1$ tale che $"d"U=omega$).
Dunque la proprietà geometrica del dominio (connessione semplice) e proprietà analitica dei coefficienti (uguaglianza delle derivate "in croce") insieme sono
sufficienti all'esattezza della forma differenziale.
Tuttavia:
- il teorema non si inverte ed, in particolare, si trovano esempi di forme esatte e chiuse in aperti non semplicemente connessi (questo è l'errore di dasvidanke, quando scrive che la forma non può essere esatta poiché il dominio non è semplicemente connesso);
- il sussistere di una sola delle due proprietà (geometrica del dominio od analitica dei coefficienti) senza il contemporaneo verificarsi dell'altra non garantisce alcunché sull'esattezza (questo è l'errore commesso da Bokonon, che dice che la forma è esatta perché è chiusa).
Esempi di situazioni del genere li trovate su ogni testo vagamente decente di Analisi II... E, se non li trovate, è un ottimo esercizio costruirveli da voi.
Analizzati gli errori grossolani che avete commesso, vediamo un po' cosa si può fare per porre rimedio e portare a casa il risultato.
Per quanto ci siamo detti, il teorema di cui sopra non è applicabile, poiché non ne sono soddisfatte le ipotesi (invero, la forma è chiusa ma il suo dominio non è semplicemente connesso); dunque, per studiare l'esattezza della forma si deve procedere altrimenti.
Nel caso in esame, o si cerca di calcolare esplicitamente una primitiva $U$ di $omega$ (che, se $U$ esiste, la $omega$ è esatta; altrimenti, non lo è) oppure si va a controllare cosa succede integrando $omega$ su curve chiuse che circondano il "buco" del dominio, i.e. il punto $(0,0)$ (che, se gli integrali vengono $=0$, la $omega$ è esatta; altrimenti, non lo è).
Metodo 1:
calcolo della primitiva.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per calcolare il potenziale osserviamo che, per definizione deve essere:
\[
\begin{split}
U_x(x,y) &= a(x,y) = \log (x^2+y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2}\\
U_y(x,y) &= b(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}\; ;
\end{split}
\]
dalla seconda uguaglianza, integrando parzialmente rispetto ad $y$ otteniamo:
\[
U(x,y) = x\ \log (x^2 + y^2) + C(x)
\]
(in cui $C(x)$ è un'opportuna funzione di classe $C^1$ da determinare) ed imponendo la prima condizione troviamo:
\[
\log (x^2 + y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2} + C^\prime (x) = \log (x^2+y^2) + \frac{2x^2}{x^2+y^2}\qquad \Leftrightarrow \qquad C^\prime (x) = 0\; ,
\]
da cui ricaviamo immediatamente $C(x) = c$ (costante); conseguentemente, le primitive di $omega$ sono le funzioni del tipo:
\[
U(x,y) = x\ \log (x^2+y^2) + c\; .
\]
Ne viene che $omega$ è esatta in $Omega =RR \setminus \{(0,0)\}$ poiché ne abbiamo determinato esplicitamente una primitiva.
Metodo 2:
calcolo degli integrali curvilinei.
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Scegliamo di integrare $omega$ su una curva semplice e "decente" $gamma$ che circondi il punto $(0,0)$; dato che nei coefficienti di $omega$ è presente la quantità $x^2+y^2$, sembra il caso di scegliere (per semplificare i calcoli) come $gamma$ una circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Conseguentemente, usando la definizione di integrale curvilineo e la parametrizzazione usuale della circonferenza unitaria, troviamo:
\[
\begin{split}
\int_{+\gamma} \omega &=\int_0^{2\pi} \left[ \left(\log (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{2\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}\right)\ (-\sin \theta) + \frac{2\cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}\ \cos \theta\right]\ \text{d}\theta\\
&= \int_0^{2\pi} 0\ \text{d} \theta \\
&= 0\; ;
\end{split}
\]
dato che l'integrale $\int_{+\gamma} \omega = 0$, dato che ogni altre curva semplice, chiusa e "decente" $Gamma$ che circonda $(0,0)$ si può "deformare con un moto continuo in $Omega$" in modo da farla coincidere con $gamma$
1 e visto che l'annullarsi dell'integrale curvilineo di una forma differenziale su una curva semplice, chiusa e "decente" è
invariante per "deformazioni con moto continuo"
2, possiamo dire che l'integrale di $omega$ è nullo per ogni possibile curva "decente" e chiusa contenuta nel dominio $Omega$ (sia che circondi $(0,0)$, sia che non lo circondi); pertanto $omega$ è esatta in base al
Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte3.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)