Distanze equivalenti e Palle

[Fratix]

La definizione di distanze equivalenti (almeno una) è la seguente:

Sia $ (X,d) $ uno spazio metrico e $ d_1 $ un'altra distanza su $ X $, le due distanze si dicono equivalenti se e solo se $ exists c_1,c_2 > 0 : $

$forall x,y in X, $ $ c_1*d(x,y)<=d_1(x,y)<=c_2*d(x,y)$

Segue la definizione di Palla (o disco):

Sia $ (X,d) $ uno spazio metrico una palla di raggio $r$ centrata in un punto $x_0 in X$ è così definita:

$ B(x_0,r) = {x in X : d(x_0,x)<r} $

A questo punto non riesco a vedere che due distanze si dicono equivalenti anche (altra definizione) quando ogni palla della prima metrica contiene qualche palla della seconda e viceversa. Come sono collegate le due definizioni? C'è qualche esempio illuminante? Vorrei capire bene cosa significa effettivamente avere due distanze equivalenti, avendo presente entrambe le definizioni appunto.

[gugo82]

Considera in $RR^2$ le due distanze definite ponendo:
\[
\begin{split}
d_1(P,P_0) &:= |x-x_0| + |y-y_0| \\
d_2(P,P_0) &:= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}
\end{split}
\]
in cui $P=(x,y)$ e $P_0=(x_0,y_0)$.
Prova a disegnare le palle di raggio $r>0$ e renditi conto, geometricamente, che in ogni palla di una metrica è contenuta una dell'altra.
Poi dimostrati che le due costanti $c_2,c_2$ sono $1$ e $sqrt(2)$.

[Fratix]

Ho tracciato diverse palle sul piano $ \mathbbR^2 $ e devo dire che esse sono proprio alternate una metrica forma dei cerchi concentrici, un'altra dei quadrati con vertici sugli assi (unici punti dove le due palle a parità di raggio e con le diverse metriche indicate sopra si sovrappongono).E' ragionevole. Infine algebricamente ho dimostrato che ci sono $ c_1 = 1, c_2=sqrt2 $

Considera in $ RR^2 $ le due distanze definite ponendo:
\[ \begin{split} d_1(P,P_0) &:= |x-x_0| + |y-y_0| \\ d_2(P,P_0) &:= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \end{split} \]
in cui $ P=(x,y) $ e $ P_0=(x_0,y_0) $.

Chiamo $ a = x-x_0 $ e $ b = y-y_0$

Proviamo la prima disuguaglianza:

$ c_1 * d_2(x,y)<=d_1(x,y) hArr c_1 sqrt(a^2+b^2)<=(|a|+|b|) hArr c_1 (a^2+b^2) <= (a^2+b^2+2|a||b|):$ $ rArr c_1=1$

Per la seconda il discordo è analogo:

$ d_1(x,y)<=c_2*d_2(x,y) hArr (|a|+|b|)<= c_2 sqrt(a^2+b^2) hArr (a^2+b^2+2|a||b|) <= (c_2)^2 (a^2+b^2):$ $rArr c_2=sqrt(2)$

Spero di aver capito, però se c'è qualcosa dove vi possa sembrare troppo superficiale non esitate a farmelo notare, grazie tante "gugo82" per l'illuminazione

[marco2132k]

A questo punto non riesco a vedere che due distanze si dicono equivalenti anche (altra definizione) quando ogni palla della prima metrica contiene qualche palla della seconda e viceversa. [...] Vorrei capire bene cosa significa effettivamente avere due distanze equivalenti, avendo presente entrambe le definizioni appunto.

Ciao. In generale quest'ultima definizione equivale a dire che (appurato che in un metrico le palle di centro \(x\) formano una base di intorni per questo ragazzo) le due distanze originano la stessa topologia in \(X\).

Srotoliamo quanto sopra.
Considera uno spazio metrico \((X,d)\); definita la famiglia \(\mathcal{I}_{x}\) degli intorni di un \(x\in X\) come la collezione dei soprainsiemi di \(B_\rho(x)\) (abbiamo "topologizzato" \(X\)), noti subito che, considerata una palla \(U=B_{\rho_1}(x)\) di un \(x\in X\), esiste of course \(V=B_{\rho_2}(x)\subset U\). Allora \(\mathcal{B}_{x}^{'}=\left\{B_\rho(x):x\in X\right\}\subset \mathcal{I}_{x}\) è una base per lo spazio (topologico) \(X\), come concordato nel link sopra. Questo vuol dire che la famiglia di tutti i soprainsiemi degli elementi di \(\mathcal{B}_{x}\) è \(\mathcal{I}_{x}\) (verificalo).

Considera una seconda base \(\mathcal{B}_{x}^{''}\) di intorni (rispetto a qualche topologia, non necessariamente la stessa) del punto \(x\) (perché non pensarla come quella base formata dagli intorni dati dalla distanza \(d_1:((x,y),(x_0,y_0))\mapsto \lvert x-x_0\rvert+\lvert y-y_0\rvert\)?) tale che:

\(\forall U \in \mathcal{B}_{x}^{'}:\exists V \in \mathcal{B}_{x}^{''}:V\subset U\)
\(\forall V \in \mathcal{B}_{x}^{''}:\exists U \in \mathcal{B}_{x}^{'}:U\subset V\)¹

Allora l'insieme dei soprainsiemi di questi ragazzi (la topologia che generano), è lo stesso (come potrai verificare immediatamente).

Ciò significa che, se \(d=d_2\), la tua definizione equivale a dire che le due distanze generano la stessa topologia (lo stesso insieme di intorni di un punto) nel metrico \(X\) c:

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Note

1. Scusami per la notazione con gli apici, ammetto che è da criminali. ↑

[gugo82]

La definizione di distanze equivalenti (almeno una) è la seguente:

Sia $ (X,d) $ uno spazio metrico e $ d_1 $ un'altra distanza su $ X $, le due distanze si dicono equivalenti se e solo se $ exists c_1,c_2 > 0 : $

$forall x,y in X, $ $ c_1*d(x,y)<=d_1(x,y)<=c_2*d(x,y)$

[...] A questo punto non riesco a vedere che due distanze si dicono equivalenti anche (altra definizione) quando ogni palla della prima metrica contiene qualche palla della seconda e viceversa. Come sono collegate le due definizioni? C'è qualche esempio illuminante? Vorrei capire bene cosa significa effettivamente avere due distanze equivalenti, avendo presente entrambe le definizioni appunto.

Osserva che se $d(x,x_0)< r/(c_2)$ allora $d_1(x,x_0)<= c_2*d(x,x_0)<r$, dunque $B_d(x_0;r/(c_2))\subseteq B_(d_1)(x_0;r)$.
Analogamente, se $d_1(x,x_0)<c_1*r$ allora $d(x,x_0)<= 1/(c_1)*d_1(x,x_0)<r$, cosicché $B_(d_1)(x_0;c_1*r)\subseteq B_d (x_0;r)$.