Limite per $x -> oo$

[Alex404]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo limite:
$ lim_(x->oo) (sen4/x)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $
Per la proprietà del prodotto posso riscriverlo così:
$ lim_(x->oo) (sen4/x) * lim_(x->oo) 1/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $

Il primo limite lo lascio invariato per il momento e razionalizzo al secondo moltiplicando e dividendo per $ (sqrt(x^2+3)+sqrt(x^2+1)) $

Alla fine dei conti il risultato del secondo limite è lim_(x->oo) x
Lo riscrivo come unico limite applicando nuovamente la proprietà del prodotto e poi moltiplico e divido per $ 4/x $ in questo modo:

$ lim_(x->oo) (sen4/x)*x*((4/x)/(4/x)) $

Ottenendo quindi $ (sen4/x)/(4/x)*4 $
A questo punto sinceramente non so se il procedimento è giusto ma ho pensato di procedere per sostituzione ottenendo un limite notevole.
Pongo $ t=4/x $ e dico che quando x tende a infinito, t tende a 0.
Risolvo il limite:
$ lim_(x->0) ((sen(t))/t)*4 $
E ottengo come risultato 4.
Però non so se il procedimento è corretto, qualcuno può confermare per piacere?

[pilloeffe]

Ciao Alex404,

Ti confermo che si ha:

$ \lim_{x \to \pm \infty}(sin(4/x))/(\sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) = \pm 4 $

ove si intende che se $x \to +\infty $ il risultato è $+4 $, se $x \to -\infty $ il risultato è $-4 $.

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto*!

E' sbagliato esattamente quì:

Il primo limite lo lascio invariato per il momento

non puoi spezzare limiti e poi riattaccarli.

Può sembrarti paradossale, data la mia affermazione, però nonostante tutto il risultato è corretto.
E' corretto perchè in realtà il limite non lo hai spezzato: hai razionalizzato semplicemente, come se avessi scritto su un pezzettino di carta la razionalizzazione, sostituendo dopo l'espressione, visto che non 'mandato' nulla a limite.

Ti dico che è sbagliato perchè quella considerazione può portarti a fare errori su errori, quindi meglio risolvere il problema all'origine. Vale il teorema sul prodotto dei limiti e in generale valgono i teoremi legati all'algebra dei limiti.

Morale della favola: se devi fare manipolazioni algebriche sulle funzioni, mentre stai calcolando un limite: falle dentro il 'simbolo' di limite.

Per il resto ti ha già risposto piloeffe.

[gugo82]

Innanzitutto, il limite del prodoto lo puoi scrivere come prodotto dei limiti solo se già sai che tutto funziona; quindi questo:

sto cercando di risolvere questo limite:
$ lim_(x->oo) (sen4/x)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $
Per la proprietà del prodotto posso riscriverlo così:
$ lim_(x->oo) (sen4/x) * lim_(x->oo) 1/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $

è falso.

Nulla ti vieta però di sfruttare le usuali regole del calcolo letterale per riportare tutto in una forma in cui il calcolo può essere svolto con "la proprietà del prodotto".
In particolare puoi "srazionalizzare":

[...] razionalizzo al secondo moltiplicando e dividendo per $ (sqrt(x^2+3)+sqrt(x^2+1)) $

ottenendo il limite equivalente:
\[
\lim_{x\to +\infty} \sin \left( \frac{4}{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{x^2 + 1}}{2}\; .
\]

Alla fine dei conti il risultato del secondo limite è lim_(x->oo) x

No.
Il risultato di un limite o è un numero o è $+-oo$.

Tutto il resto non è "risultato", ma (nei casi corretti) una riformulazione equivalente del limite assegnato.

Lo riscrivo come unico limite applicando nuovamente la proprietà del prodotto e poi moltiplico e divido per $ 4/x $ in questo modo:

$ lim_(x->oo) (sen4/x)*x*((4/x)/(4/x)) $

Ottenendo quindi $ (sen4/x)/(4/x)*4 $

Se devi rimettere tutto insieme, perché ti sei avventurato nel reparto macelleria a cercare dello spezzatino di limite?

Per mettere il limite in una forma migliore, fai come facevano i vecchi antichi: metti in evidenza sotto le radici gli addendi che tirano la carretta a $+oo$: in tal modo ottieni:
\[
\lim_{x\to +\infty} \sin \left( \frac{4}{x}\right)\cdot \frac{x\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)}{2}\; ,
\]
da cui, moltiplicando e dividendo per $4/x$ ricavi:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{4}{x}\right)}{\frac{4}{x}}\cdot \frac{4}{x}\cdot \frac{x\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)}{2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{4}{x}\right)}{\frac{4}{x}}\cdot 2\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)
\]
che si risolve sfruttando un limite notevole di quelli immediati, usando o non usando la strategia che proponevi, cioè:

procedere per sostituzione ottenendo un limite notevole.
Pongo $ t=4/x $ e dico che quando x tende a infinito, t tende a 0.

P.S.: Noterai che ho interpretato $oo$ come $+oo$.
Il ragionamento funziona uguale-uguale dall'altro lato, cioè quando $x -> -oo$, però c'è bisogno di una piccola modifica... Dove?

[Alex404]

Grazie mille ragazzi, adesso mi è chiaro il procedimento corretto.