Innanzitutto, il limite del prodoto lo puoi scrivere come prodotto dei limiti solo se già sai che tutto funziona; quindi questo:
Alex404 ha scritto:sto cercando di risolvere questo limite:
$ lim_(x->oo) (sen4/x)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $
Per la proprietà del prodotto posso riscriverlo così:
$ lim_(x->oo) (sen4/x) * lim_(x->oo) 1/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x^2+1)) $
è falso.
Nulla ti vieta però di sfruttare le usuali regole del calcolo letterale per riportare tutto in una forma in cui il calcolo può essere svolto con "la proprietà del prodotto".
In particolare puoi "srazionalizzare":
Alex404 ha scritto:[...] razionalizzo al secondo moltiplicando e dividendo per $ (sqrt(x^2+3)+sqrt(x^2+1)) $
ottenendo il limite equivalente:
\[
\lim_{x\to +\infty} \sin \left( \frac{4}{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + \sqrt{x^2 + 1}}{2}\; .
\]
Alex404 ha scritto:Alla fine dei conti il risultato del secondo limite è lim_(x->oo) x
No.
Il risultato di un limite o è un numero o è $+-oo$.
Tutto il resto non è "risultato", ma (nei casi corretti) una riformulazione equivalente del limite assegnato.
Alex404 ha scritto:Lo riscrivo come unico limite applicando nuovamente la proprietà del prodotto e poi moltiplico e divido per $ 4/x $ in questo modo:
$ lim_(x->oo) (sen4/x)*x*((4/x)/(4/x)) $
Ottenendo quindi $ (sen4/x)/(4/x)*4 $
Se devi rimettere tutto insieme, perché ti sei avventurato nel reparto macelleria a cercare dello spezzatino di limite?
Per mettere il limite in una forma migliore, fai come facevano i vecchi antichi: metti in evidenza sotto le radici gli addendi che tirano la carretta a $+oo$: in tal modo ottieni:
\[
\lim_{x\to +\infty} \sin \left( \frac{4}{x}\right)\cdot \frac{x\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)}{2}\; ,
\]
da cui, moltiplicando e dividendo per $4/x$ ricavi:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{4}{x}\right)}{\frac{4}{x}}\cdot \frac{4}{x}\cdot \frac{x\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)}{2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{4}{x}\right)}{\frac{4}{x}}\cdot 2\left( \sqrt{1 + 3/x^2} + \sqrt{1 + 1/x^2}\right)
\]
che si risolve sfruttando un limite notevole di quelli immediati, usando o non usando la strategia che proponevi, cioè:
Alex404 ha scritto:procedere per sostituzione ottenendo un limite notevole.
Pongo $ t=4/x $ e dico che quando x tende a infinito, t tende a 0.
P.S.: Noterai che ho interpretato $oo$ come $+oo$.
Il ragionamento funziona uguale-uguale dall'altro lato, cioè quando $x -> -oo$, però c'è bisogno di una piccola modifica... Dove?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)