Carattere di una serie

Messaggioda Alexandros543 » 11/02/2019, 19:17

Ciao ragazzi, devo trovare studiare il carattere della serie $ Sigma_{n=1}^{oo}[log(1+\frac{1}{n^alpha})-\frac{1}{n}], \ \ \alpha in R $
Ho trovato che il termine generale è definitivamente negativo o nullo e che la serie diverge per $ alpha <= 0 $ perché non soddifsfa la condizione necessaria di convergenza.
Come studio il caso $ alpha > 0 $ ?
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Re: Carattere di una serie

Messaggioda otta96 » 11/02/2019, 20:53

Con lo sviluppo di $ln(1+x)$, ad esempio.
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Re: Carattere di una serie

Messaggioda Alexandros543 » 12/02/2019, 00:10

Ciao @otta96,
avevo pensato di usare Taylor, ma sinceramente non ho capito alcune cose...
Io so che $ log(1+x) = sum_{k=1}^{oo}(-1)^{k+1}x^k/k $ se centrato in $ p=0 $
Però la funzione data è $ log(1+\frac{1}{x}) $ per cui non posso svilupparla in p=0 e quindi la sviluppo in p=1, giusto?
Il punto è che ho dei dubbi proprio nell'applicazione di Taylor:
- è corretto fare lo sviluppo ponendo $t=1/n$ e applicando lo sviluppo di $log(1+t)$ in $p=1$?
$ log(1+t) = log(2) + (t-1)/2 - (t-1)^2/8 + o((t-1)^2) => log(1+1/n) = log(2) - (n-1)/{2n} $ $ + (n-1)^2/{8n^2} + o(n^{-2}) $
ma:
$ log(1+n^{-1}) = log(2) - (n-1)/2 + 3(n-1)^2/8 + o((n-1)^2) $

(Ho considerato $ alpha = 1 $ per semplicità)
Ultima modifica di Alexandros543 il 12/02/2019, 10:16, modificato 1 volta in totale.
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Re: Carattere di una serie

Messaggioda pilloeffe » 12/02/2019, 00:46

Ciao Alexandros543,
:shock:
Eh? Si ha:

$log(1 + x) = x - x^2/2 + o(x^3) $

per $|x| < 1 $. Nel tuo caso $x := 1/n^{\alpha} $ che essendo $\alpha > 0 $ vale $0 $ per $n \to +\infty $, per cui si ha:

$ log(1 + 1/n^{\alpha}) = 1/n^{\alpha} - 1/(2n^{2\alpha}) + o(1/n^{3\alpha}) $

$ log(1 + 1/n^{\alpha}) - 1/n = 1/n^{\alpha} - 1/n - 1/(2n^{2\alpha}) + o(1/n^{3\alpha}) $

Quindi ad esempio per $\alpha = 1 $ la serie proposta converge.
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Re: Carattere di una serie

Messaggioda Alexandros543 » 12/02/2019, 00:55

Quindi posso svilupparla con centro p=0?
Pensavo di no perché , ad esempio, già $f_{(p)}^{(0)}=log(1+1/p)$ non esiste

EDIT: Ok, credo di aver capito. Ma allora se io avessi $sen(n)$, poiché $n -> +oo$ allora dovrei svilupparla in $ p -> +oo $ ? (invece con $ sen(1/n) $ la svilupperei in 0 perché $ 1/n -> 0 \ \ (n->+oo) $
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Re: Carattere di una serie

Messaggioda pilloeffe » 12/02/2019, 13:25

Beh, se avessi $sin(n) $ potresti considerare che $|sin(n)| <= 1 \quad \AA n $... :wink:
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