Soluzione esercizi integrali di linea

[Mattmagnus 7]

6. Sia $Sigma = Sigma_1 uu Sigma_2$ la superficie ottenuta unendo l'emisfero
$Sigma_1 = {(x; y; z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1; z>=0}$con il disco $Sigma_2 = {(x; y; z) in R^3 : x^2 + y^2 <= 1; z = 0}$.

Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = xz j + x k$ uscente da $Sigma$.
7. Sia $Sigma$ la superficie piana il cui bordo sia un triangolo di vertici $(1; 0; 0),(0; 1; 0)$ e $(0; 0; 1)$.
(i) Si scriva una parametrizzazione di $Sigma$.
(ii) Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = x i+y j+z k$ attraverso
la superficie $Sigma$ orientata verso l'alto.
8. Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = x i+y j-2 k$ attraverso
la superficie $Sigma ={(x; y; z) in R^3 : z = 1- x^2- y^2; x^2 + y^2 <=1}$ orientata con
la parte superiore positiva.
9. Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = e^x i+e^y j+z k$ attraverso
la superfcie $Sigma = {f(x; y; z) 2 R3 : xy- z = 0; -y<=x<=y; 0 <=y <=1}$
orientata con la parte superiore positiva.
10. Sia $Sigma$ la frontiera dell'insieme ${(x; y; z) in R^3 : z >= x^2 + y^2; x^2 + y^2 <=1; z<= 4}$
(i) Si scriva $Sigma$ come unione di facce regolari. (ii) Si calcoli l'area di $Sigma$.
(iii) Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = x i$ uscente da $Sigma$.
1. Sia $Sigma$ la superficie data dalla parte del cono di equazione $z =sqrt(x^2 + y^2)$ che giace sopra il quadrato $[-1; 1] [-1; 1]$ nel piano $xy$.
(i) parametrizzazione di $Sigma$. (ii) trovare versore normale a $Sigma$ nel punto $(1/2 ; 0; 1/2)$
(iii) area di $Sigma$ (iv) Si calcoli $intint Sigma e^x(x + y) d sigma$.
2. Si calcoli l'area della superficie σ di parametrizzazioner $(u; v) = cos u i + sin u j + v k$ ; $u in [0 pi]$; $v in [0; 1]$:
3. Si calcoli $intint Sigma(z + y^2) d sigma$ con $Sigma$ semisfera superiore di centro $(0,0)$ e raggio $R$.
4. Si calcoli l'area della superficie $Sigma$ (detta finestra di Viviani) data dalla porzione della sfera $f(x; y; z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ interna al cilindro ${f(x; y; z) in R^3 : x^2 + y^2 = Rx}$, cioè
$Sigma = {f(x; y; z) in R3 : x^2 + y^2 + z^2 = R^2 wedge x^2 + y^2 <=Rx}$
5. Sia $Sigma$ la frontiera del cubo $[-1; 1]X[-1; 1]X[-1; 1]$ . Si calcoli il flusso del
campo vettoriale $F(x; y; z) = z^2 i + z j - z k$ uscente da $Sigma$.