l'oscilloscopio ha scritto:Il problema
è un altro.
Io parlo puramente della soluzione
generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.
Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è
una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]
Cosa intendo quindi per soluzione
generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.
Da qui la domanda:
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.
Vedo un po' di confusione:
a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha
una soluzione con
due parametri liberi
reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$
b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre
una soluzione con
due parametri liberi
complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.
La soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
non e' generica ne' nel campo complesso, ne' nel campo reale (non vi appartiene addirittura).
Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.
Viceversa con la soluzione che ho scritto prima, basta mettere $A = 1$ e $B = 0$. Semplicissimo.
Il Prof. dice che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e' gia una soluzione generica perche' lui ha gia' in mente di passare al campo reale, siccome l'oscillatore fisico prende valori solo nel campo reale, e lo fara' con l'operazione
$"Re" {x_0'e^(-i(omegat+alpha))}$.
Non lo dice esplicitamente, ma ce l'ha in testa e lo da per scontato. Ecco da dove nasce la confusione.
Quindi, siccome nel campo reale gli sono sufficienti due parametri liberi, puo' usare quella soluzione come soluzione generale.Si tratta solo di fare qualche passaggio algebrico per andare da una forma all'altra, ma nella sostanza sono la stessa cosa.