Matematicamente.it

Quale dei due? Ci sono delle tavole di integrali su internet da consultare senza dovere, quando possibile, verificare i calcoli?
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^{2}+\beta x}\mbox{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha}e^{\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^{2}+\beta x}\mbox{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}
\]
Uno l'ho trovato su wiki e l'altro in un esercizio di matematica.

Beh, supposto \(\alpha >0\), hai:
\[
-\alpha x^2+\beta x = -\alpha \left(x-\frac{\beta}{2\alpha}\right) + \frac{\beta^2}{4\alpha}
\]
(per completamento del quadrato) e quindi:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty \exp (-\alpha x^2+\beta x)\ \text{d}x &= e^{\beta^2/(4\alpha)}\ \int_{-\infty}^\infty \exp \left(-\alpha \left(x-\frac{\beta}{2\alpha}\right)\right)\ \text{d}x\\
& \stackrel{z=\sqrt{\alpha}(x-\beta/(2\alpha))}{=} \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\ e^{\beta^2/(4\alpha)}\ \int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\ \text{d} z\\
&= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{\beta^2/(4\alpha)}\; .
\end{split}
\]

Grazie. Comunque il link di wiki è link in fondo alla pagina.

Nell'integrale a fondo pagina su WIKI c'è un marchiano errore di segno.