da lordb » 18/01/2013, 13:05
Ciao,
non credo di aver capito bene cosa intendi.
Comunque credo che questo esempio sia sufficiente per chiarire le idee:
Sviluppiamo in serie di potenze $ 1/sqrt(1+x)$.
Allora, come sai la formula è: $(1+x)^(alpha)=sum_(k=0)^(n)((alpha),(k))x^k+o(x^n)_(x->0)$.
Ma $1/sqrt(1+x)=(1+x)^(-1/2)$ quindi (pongo $n=3$ per esempio):
$(1+x)^(-1/2)=((-1/2),(0))x^0+((-1/2),(1))x^1+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$
$(1+x)^(-1/2)=1-1/2x+((-1/2),(2))x^2+((-1/2),(3))x^3 + o(x^3)_(x->0)$
Calcoliamo i coefficienti binomiali:
$((-1/2),(2))=(-1/2*(-1/2-1))/(2!)=3/8$
$((-1/2),(3))=(-1/2*(-1/2-1)*(-1/2-2))/(3!)=-5/16$
Sostituendo:
$(1+x)^(-1/2)=1-1/2x+3/8x^2-5/16x^3 + o(x^3)_(x->0)$