Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Mr.Mazzarr » 26/01/2013, 21:44

Conosco il concetto teorico del limite destro e sinistro, ma non ho mai capito la reale applicazione nei limiti da calcolare.
Qual è la differenza meramente concreta ( ovvero in termini di risultato finale ) di un limite a destra e sinistra?

Di funzione come il logaritmo, credo che non esistendo la funzione prima di $0$, non possa esistere un limite unico ma esista solo il limite a destra.

Ma in generale che discorso si può fare a riguardo? Spesso nel controllo del risultato finale, Wolfram mi da due risultati di un limite tendente ad $n$, prima da dx e poi da sx. Ma come capisco quando ce ne sono due e quando c'è solo uno?
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda gio73 » 26/01/2013, 21:52

proviamo con questa
$f(x)=1/(x-2)$
e poi con questa
$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Mr.Mazzarr » 26/01/2013, 21:56

$lim_{x->0} 1/(x-2)$ $= -1/2$

$lim_{x->0} (x^2-4)/(x-2) =$ $2$

Ho semplicemente sostituito le $x$, non trovando forme indeterminate.
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Camillo » 26/01/2013, 22:01

Devi calcolare il limite per $ x rarr 2^(+) $-limite dx - e poi $x rarr 2^(-)$ limite sx .
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Mr.Mazzarr » 26/01/2013, 22:06

Entrambe le funzioni si annullano in $2$, se faccio il limite in quei punti ottengo il ''comportamento'' di quelle funzioni?
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda gio73 » 26/01/2013, 22:18

Mr.Mazzarr ha scritto:Entrambe le funzioni si annullano in $2$, se faccio il limite in quei punti ottengo il ''comportamento'' di quelle funzioni?

Si annullano i denominatori
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Mr.Mazzarr » 27/01/2013, 00:47

Certo. Quindi cosa posso concludere ?
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Brancaleone » 27/01/2013, 09:35

Semplicemente ottieni un valore limite $f(x_0)$ cui appunto la tua funzione tende man mano che si "avvicina" a $x_0$ senza effettivamente raggiungerlo. La distinzione tra limite destro e limite sinistro si fa quando:

*la funzione si comporta in maniera differente a seconda che ci si avvicini a $x_0$ da destra ($x->x_0^+$) o da sinistra ($x->x_0^-$).
Esempio:

$lim_(x->0^+)1/x=+oo$

$lim_(x->0^-)1/x=-oo$

$lim_(x->0)1/x=text(non esiste)$

*la funzione non è definita alla "immediata" destra (sinistra) di $x_0$ (benché si possa informalmente tralasciare la distinzione destra/sinistra proprio perché non è possibile fare confusione tra limite destro/sinistro).
Esempio:

$lim_(x->0)ln(x)=lim_(x->0^+)ln(x)=-oo$

Quando invece i limiti destro/sinistro sono uguali:

$lim_(x->0^+)1/x^2=lim_(x->0^-)1/x^2=lim_(x->0)1/x^2=+oo$
Eliminato l'impossibile ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità.
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Mr.Mazzarr » 27/01/2013, 11:35

La funzione $1/x$ ha esatta distinzione tra limite destro e sinistro poichè è una funzione che è definita in tutto $R$, mentre il logaritmo prima di $0$ non esiste e quindi esiste solo il limite da destra, no?
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Re: Differenza tra limite destro e sinistro

Messaggioda Brancaleone » 27/01/2013, 11:37

No, la funzione $1/x$ non è definita in $0$...
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