Re: Controesempi in Analisi

Messaggioda quantunquemente » 21/06/2015, 14:08

un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata
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Re: Controesempi in Analisi

Messaggioda Martino » 02/07/2015, 00:53

Esempio di funzione derivabile ma non \( \displaystyle \mathcal{C}^1 \) (cioè la derivata non è continua).
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata di questa funzione non è continua in zero.

Esempio di funzione con derivata positiva in un punto ma non crescente in nessun intorno di tale punto.
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x)+x, & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata in zero vale 1 ma la funzione non è crescente in nessun intorno di zero.
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Re: Controesempi in Analisi

Messaggioda mazzarri » 17/07/2015, 19:43

quantunquemente ha scritto:un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata


ciao caro non capisco il tuo contro-esempio... il teorema di Rolle dice che:

se una funzione è continua e derivabile in un intervallo $(a,b)$ e se $f(a)=f(b)$ allora esiste almeno un punto $c in (a,b)$ tale che $f'(c)=0$

ma la tua funzione $|x|$ non è derivabile in $RR$ come tu stesso dici... in $x=0$ ha un punto angoloso per cui cadono le ipotesi del teorema di Rolle che quindi non è applicabile

ciao!
Ultima modifica di mazzarri il 17/07/2015, 20:05, modificato 1 volta in totale.
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Re: Controesempi in Analisi

Messaggioda quantunquemente » 17/07/2015, 19:58

ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post
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Re: Controesempi in Analisi

Messaggioda mazzarri » 17/07/2015, 20:06

[/quote="quantunquemente"]ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post[/quote]


:smt023 :smt023
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Re: [CiA] Il serpente topologico

Messaggioda Platone » 03/01/2017, 15:07

Salve a tutti. Riscrivo con molto piace su questo forum dopo credo 10 anni! :D
Non so se l'utente j18eos frequenta ancora il forum. Stavo leggendo questo topic è qualcosa non mi torna nella dimostrazione riportata sotto. Ovviamente la domanda è posta a tutti gli utenti :wink:

j18eos ha scritto: Il serpente topologico è un insieme connesso ma non connesso per cammini!

Dimostrazione. Sia \(\displaystyle(0;y_1)\in\overline{X}\); per assurdo esista una funzione continua \(\displaystyle\gamma\) da \(\displaystyle[0;1]\) a \(\displaystyle\overline{X}\) tale che \(\displaystyle\gamma(0)\in X\) e \(\displaystyle\gamma(1)=(0;y_1)\).
Posto:
\[
p_1:(x;y)\in\overline{X}\to x\in[0;+\infty[
\]
si consideri:
\[
\sup\{t\in[0;1]\mid p_1(\gamma(t))>0\}=\sup X_+=\tau
\]
per ipotesi \(\displaystyle0\leq\tau<1\) ovvero essendo \(\tau\) il minimo dei maggioranti di \(\displaystyle X_+\) si ha che:
\[
\forall t\in]\tau;1],\,p_1(\gamma(t))=0.
\]
Ricordata la definizione dell'estremo superiore per l'insieme \(\displaystyle X_+\):
\[
\forall t\in X_+,\,t\leq\tau,\\
\forall\epsilon>0,\,\exists t\in X_+\mid\tau-\epsilon\leq t\leq\tau
\]
per il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue:
\[
\exists\delta>0:\forall t\in]\tau-\delta;\tau+\delta[\cap[0;1],\,p_1(\gamma(t))>0
\]
quindi per la seconda proprietà che definisce l'estremo superiore di un insieme, dev'essere \(\tau=1\) in assurdo con quanto affermato!

Onde evitare l'assurdo \(\displaystyle\overline{X}\) non è un insieme connesso per cammini.


Non mi torna la parte finale del ragionamento, ossia il modo in cui vine applicato il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue. D'accordo che \(p_1 \circ \gamma \) è una funzione continua, ma per poter applica il teorema dovrebbe essere \( p_1(\gamma(\tau))>0 \), ma non mi pare sia così in questo caso; infatti \(\tau\) non appartiene all'insieme \(X_+\) (altrimenti sarebbe il massimo di quell'insieme, mentre il supp in generale è solo il minimo dei maggioranti, e come tale può non appartenere all'insieme).
Sbaglio in qualcosa?
Accetto volentieri pareri :)
Non ho mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare. (Platone)
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