Guarda che:
\[
x^2+y^2-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left( x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}
\]
quindi il tuo cilindro è il cilindro circolare retto di base il cerchio \(C\) nel piano \(Oxy\) di centro \((1/2,0,0))\) e raggio \(1/2\); conseguentemente la regione di cui vuoi calcolare il volume è:
\[
D:=\Big\{(x,y,z): \underbrace{x^2+y^2-x\leq 0}_{\text{cioé }(x,y)\in C} \text{ e } -\sqrt{1-x^2-y^2}\leq z\leq \sqrt{1-x^2-y^2}\Big\}
\]
e se chiami \(D^+\) la parte di \(D\) nel primo ottante (cioé quella formata dai punti con \(x,y,z\geq0\)) e chiami \(C^+\) la parte di \(C\) nel primo quadrante di \(Oxy\), hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (D) &= 4\ \operatorname{vol} (D^+)\\
&= 4\ \int_{C^+} \left(\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \text{d} z\ \right)\ \text{d} x\text{d} y\\
&= 4\ \int_{C^+} \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d} y\; .
\end{split}
\]
Per calcolare l'ultimo integrale, prova a passare in polari stando attento alla limitazione su \(\rho\).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)