Salve a tutti, scrivo qui per chiedere aiuto nella risoluzione di un integrale doppio.
L'integrale è questo: \[ \int\int \cos(x^2+y^2) \text{ d} x \text{ d} y\] esteso al dominio \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-1)^2+y^2\leq1, y\geq 0\}\). La superficie definita dal dominio è quindi l'area piana della semicirconferenza superiore di raggio \(1\) centrata in \(C=(1,0)\).
Passando in coordinate polari attraverso il cambiamento \(x=1+\rho\cos\theta\), \(y=\rho\sin\theta\) e semplificando l'argomento del coseno, ho scritto l'integrale come \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho\cos(1+\rho^2+2\rho\cos\theta) \text{ d}\rho\]
Il mio problema sorge ora: l'integrale nella variabile \(\rho\) non ammette primitiva in termini di funzioni elementari, quindi presumo dovrà essere calcolato attraverso integrazione numerica. Non avendo molte conoscenze in merito l'unica idea che ho avuto è stata di utilizzare la rappresentazione in serie di potenze del coseno: \(cos(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (t)^{2n}} {(2n)!} \), sostituendo \(t=1+\rho^2+2\rho\cos\theta\) , ho ottenuto \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (1+\rho^2+2\rho\cos\theta)^{2n}} {(2n)!} \text{ d}\rho.\]
Se quello che ho scritto è giusto (?), si prosegue integrando per parti? Se non è così altrimenti sapreste dirmi come? Grazie in anticipo!