Integrale doppio in coordinate polari

[Erdnase]

Torno di nuovo su questo problema perché la soluzione di TeM (seppur esaustiva e comprensibile) "non fa al caso mio".
Per quanto l'utilizzo della formula di Cavalieri-Simpson sembri indicata, ci è stato imposto di approssimare l'integrale in questione senza l'utilizzo di strumenti di analisi numerica.
MI domando, oltre a qualche poco fortunato tentativo di manipolazione o di utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor, come si potrebbe approssimare tale integrale.
Per riassumere il contenuto del post, l'integrale in questione è \[\int_0^\pi \frac{\sin\left(4\,\cos^2\theta\right)}{2}\,\text{d}\theta\, \]
Il risultato è richiesto con una precisione di due cifre decimali.
Se qualcuno ha qualche idea o suggerimento non posso che ringraziare!

[Erdnase]

Rinnovo la richiesta d'aiuto..
Un'altra domanda: in generale, quando incontro integrali di questo genere, dove non posso risalire a una primitiva in forma elementare, vorrei sapere come e quando è possibile ottenere un'approssimazione utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Nel senso che vorrei sapere di preciso le condizioni necessarie per poter sviluppare in serie e successivamente come fare: in alcuni esercizi svolti ho visto sviluppare la funzione integrale mentre in altri ho visto sviluppare prima l' integranda, e successivamente integrare quella e poi valutarla. Questa cosa mi ha creato abbastanza confusione, come penso abbiate notato.