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Studiare il carattere della seguente serie:

$ sum (1/n)^(1+1/n) $

Vorrei una vostra opinione sul procedimento che ho usato per risolvere questo quesito.

$ lim_(n -> +oo)(1/n)^(1+1/n)/(1/n) = lim_(n -> +oo)((1/n)(1/n)^(1/n))/(1/n) = lim_(n -> +oo)(1/n)^(1/n) = lim_(n -> +oo)e^(1/n log(1/n)) = e^(lim_(n -> +oo)1/n log(1/n)) $

Detta $x = 1/n$, per $n -> +oo$, $x -> 0^+$

$lim_(n -> +oo)1/n log(1/n) = lim_(x -> 0^+)xlogx = 0$ perché limite notevole. Quindi

$ lim_(n -> +oo)(1/n)^(1+1/n)/(1/n) = e^0 = 1 != 0$. Quindi, $ sum (1/n)^(1+1/n) $ e $sum 1/n$ hanno lo stesso carattere per il criterio del confronto asintotico. $sum 1/n = sum 1/n^1$ diverge perché serie armonica di termine generale $1/n^alpha$ con $alpha = 1 <= 1$, quindi $ sum (1/n)^(1+1/n) $ diverge.

Fatemi sapere se potete, grazie.

ahahahhahahaha grande

no dai sul serio... ti sembra davvero corretto procedere in questo modo?

siccome non riuscivo a vedere l'asintoticità di tutta la serie ho cercato un'altro metodo (dove uso sempre l'asintoticità) in pratica
ho fatto:
$ 1+1/n = (n+1)/n ~ n/n = 1 => (1/n)^(1+1/n) ~ 1/n $ e blalala

è corretto questo passaggio?

Sembra di sì, quindi secondo te, poiché $sum 1/n$ diverge, allora $sum (1/n)^(1+1/n)$ giusto?

All'università non ci hanno insegnato questo metodo, per questo non lo avrei mai usato. A te sembra corretto il mio ragionamento?

VincenzoPetrone ha scritto:ahahahhahahaha grande

no dai sul serio... ti sembra davvero corretto procedere in questo modo?

Era un modo carino per dire <<sí>>. Il ragionamento mi sembra corretto

Altro modo: osservo che i termini della serie decrescono, quindi uso il criterio di Cauchy:

$\sum_{n=1}^{+oo} (1/n)^{1+1/n}$ ha lo stesso comportamento di $\sum_{k=0}^{+oo} 2^k (1/{2^k})^{1+1/{2^k}}=\sum_{k=0}^{+oo} 2^{-k/{2^k}}$, che diverge perché i termini non tendono a $0$.