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Ciao ragazzi,
prima di tutto: Buon anno a tutti!
Allora, ho un problemino, (Secondo me anche abbastanza scemo...ma mi sono bloccata!) con gli spazi $L^p$ e $L_{loc}^p$.
Devo dimostrare che una funzione
$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)= \frac{1}{|| x ||}$ appartiene a $L_{loc}^p$ peró non sta in nessun $L^p$.

Che non appartenga a nessun $L^p$, penso sia abbastanza chiaro, considerando che
\( \int_{ \mathbb{R}^3} \mid f \mid ^p = \infty \)
peró non so come cercare il compatto in cui la funzione è integrabile!
mi potete dare un aiutino?

In piú ho anche un altro problema, sempre "teorico".
Devo dimostrare che $L^{\infty}( \mathbb{R}^3)$ é contenuto in $L_{loc}^p( \mathbb{R}^3)$... posso utilizzare la disuguglianza di Holder?

Grazie mille.
a presto!

Non devi cercare un compatto. Devi dimostrare che per ogni compatto, quella funzione è integrabile su di esso. L'unico problema che ha quella funzione è in $0$, poiché altrove è continua, perciò andiamo ad analizzare la convergenza in $0$. $\frac{1}{\|x\|^p}$ è convergente in $0$ se $p < n=3$.

Per la seconda domanda, vuoi sapere se, data $f \in L^{\infty}(\mathbb{R}^3)$, allora per ogni compato $K$ si ha che $\int_K |f|^p < \infty$. Ma allora basta maggiorare $|f|$ con la sua norma infinito, perché $K$ ha misura finita

Aaaah allora, sbagliavo completamente il modo di vedere il problema! perfetto, con il primo punto ci sono...e con il secondo, ho ancora qualche dubbietto, ma ora mi metto a lavorarci! grazie mille!!

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