Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda axpgn » 12/01/2017, 16:29

A dir la verità, l'inversa del terzo l'ha trovata ... :D ... manca un passaggio (la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato) ma i passaggi son corretti ...

Per gli altri non esiste inversa, quindi la conclusione, secondo me, è che il tuo prof quando chiede di trovare l'inversa intende "trovate l'inversa o dimostrate che non esiste", il che è legittimo ... :wink:
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda Ziben » 12/01/2017, 23:58

Ciao, mi dispiace se le mie parole sono risultate irritanti, non volevo offendere nessuno. Per quanto riguarda la la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato: la funzione in questione $y=(1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1))$ è definita per $x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$. Nell'intervallo richiesto per l'inversa, $(1/2,+\infty)$ la funzione è definita nei due intervalli $(1/2,1]$ e $[2,+\infty)$. Nel primo la funzione è strettamente crescente, nel secondo strettamente decrescente; è, inoltre, sempre limitata e $>1$ in quanto $sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)<0$ negli intervalli considerati.
Nel passaggio ai logaritmi mi ritrovo con entrambi i membri dell'uguaglianza che sono negativi. Cambio il segno e risultano entrambi positivi, così posso quadrare.
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda axpgn » 13/01/2017, 00:34

A me pare buono ... :wink:
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda Domeniko98 » 13/01/2017, 08:51

Ziben ha scritto:Ciao, mi dispiace se le mie parole sono risultate irritanti, non volevo offendere nessuno. Per quanto riguarda la la verifica del campo di esistenza nell'elevazione al quadrato: la funzione in questione $y=(1/2)^(sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1))$ è definita per $x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$. Nell'intervallo richiesto per l'inversa, $(1/2,+\infty)$ la funzione è definita nei due intervalli $(1/2,1]$ e $[2,+\infty)$. Nel primo la funzione è strettamente crescente, nel secondo strettamente decrescente; è, inoltre, sempre limitata e $>1$ in quanto $sqrt(x^2-3x+2)-abs(x+1)<0$ negli intervalli considerati.
Nel passaggio ai logaritmi mi ritrovo con entrambi i membri dell'uguaglianza che sono negativi. Cambio il segno e risultano entrambi positivi, così posso quadrare.


Ma no figurati, anzi scusami tu e grazie mille per
l'esercizio che sembra essere fatto bene. Speriamo che in esame mi capitino funzioni più "fattibili" :lol:
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda axpgn » 13/01/2017, 14:04

@Ziben
Un paio di precisazioni ...
- se entrambi i membri dell'equazione sono negativi (come in questo caso) non devi fare assolutamente nulla prima di elevare al quadrato, il problema sorge quando sono di segno diverso; in tal caso devi distinguere le situazioni ed escludere dal dominio i valori che rendono discordi i segni.
- qualora volessi comunque cambiare di segno i due membri per renderli positivi, sarebbe un lavoro inutile in quanto nel momento in cui sposti $-|x+1|$ dall'altra parte ri-cambi di nuovo il segno ... :D

Cordialmente, Alex
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda Ziben » 13/01/2017, 16:10

Ciao. Grazie della precisazione, in effetti mi era venuto il dubbio. Quindi la questione insorge solo quando i 2 membri potrebbero essere di segno opposto. Io avevo pensato anche al seguente ragionamento; l'uguaglianza è vera in quanto si è imposto che $y$ è uguale al valore della funzione. Dopo che "faccio un passaggio ai logaritmi", cosa lecita perché il valore della funzione è positivo e quindi anche la $y$, mi ritrovo con una uguaglianza ancora vera e cioè:
$log_(1/2)y=sqrt(x^2-3x+2)-(x+1)$
Dopo aver spostato il termine $x+1$ a sn mi ritrovo:
$log_(1/2)y+(x+1)=sqrt(x^2-3x+2)$
a questo punto può insorgere il dubbio che il termine a sn possa essere negativo in quanto somma di un termine negativo e uno positivo. Ma a dx ho un termine positivo (sempre) e se a sn fosse negativo (anche in qualche valore dell'incognita) mi ritroverei con una uguaglianza errata a partire da una vera con passaggi leciti. Allora anche il termine di sn è positivo. Può filare come ragionamento (che varrebbe solo in casi come questo) o è azzardato?
Comunque ho verificato sfruttando il fatto sia $y$ che $x+1$ sono strettamente monotone negli intervalli considerati.
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda axpgn » 13/01/2017, 16:39

Mi pare corretto ... la mia era solo una precisazione abbastanza inutile data appunto la "forma" della funzione ... ho voluto precisare solo per sottolineare il fatto che quando si "manipola" un'equazione ci sono molte "sottigliezze" di cui si deve tener conto (e principalmente a beneficio di eventuali futuri lettori ... :wink:)

Cordialmente, Alex
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Re: Funzione inversa molto complicata

Messaggioda Ziben » 13/01/2017, 19:49

grazie del supporto e...tutto ciò che induce alla riflessione non è mai inutile :)
Ziben
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