Integrale indefinito di funzione goniometrica

[lucads]

Salve. Ho un problema con il calcolo del seguente integrale indefinito:

$ int_()^() 1/(sinx (cosx)^3) dx $

Le primitive devono essere $ ln |sinx| - ln|cosx| + 1/(2(cosx)^2) + c $ mentre secondo il mio procedimento risultano essere:
$ ln|sinx| -ln|cosx| + (sinx)^2/(2(cosx)^2) + c $
Non riesco a trovare l'errore. Il mio ragionamento è il seguente:

$ int_()^() 1/(sinx (cosx)^3) dx $ = $ int_()^() 1/(sinx cosx (cosx)^2) dx $
Utilizzando la relazione tra coseno e tangente $ (cosx)^2=1/(1+(tgx)^2) $ si ha
$ int_()^() (1+(tgx)^2)/(sinxcosx) dx $ poi utilizzando le relazioni tra seno-tangente e coseno-tangente
$ sinx=(tgx)/(+- sqrt(1+(tgx)^2) $ si ottiene
$ int_()^() (1+(tgx)^2)^2/(tgx) dx $ = $ int_()^() (1+(tgx)^4+2(tgx)^2)/(tgx) dx = int_()^() 1/(tgx) dx +2int_()^() tgx dx +int_()^() (tgx)^3 dx $
$ int_()^() (tgx)^3 dx $ l'ho risolto per sostituzione ponendo $ s=tgx $ da cui $ x=arctg(s) $ , $ dx=1/(1+s^2)ds $
$ int_()^() (tgx)^3 dx=int_()^() s^3/(1+s^2) ds=int_()^() (s(s^2+1)-s)/(1+s^2) ds=int_()^() s ds -int_()^() s/(s^2+1) ds $ = $ s^2/2 -(ln|s^2+1|)/2 = (tgx)^2/2 - (ln(1+(tgx)^2))/2 + c $ tornando all'integrale di partenza:
$ int_()^() 1/(tgx) dx +2int_()^() tgx dx +int_()^() (tgx)^3 dx = ln|sinx| -2ln|cosx|+(tgx)^2/2- (ln(1+(tgx)^2))/2 $ = $ ln|sinx| -2ln|cosx| + (sinx)^2/(2(cosx)^2)-1/2 ln(1/(cosx)^2)= $ $ ln|sinx| -2ln|cosx|+(sinx)^2/(2(cosx)^2)+ln|cosx|=ln|sinx|-ln|cosx|+(sinx)^2/(2(cosx)^2)+c $

In pratica differisce dal risultato esatto per la presenza di $ (sinx)^2 $
Spero che qualcuno possa venirmi in aiuto. Grazie

[lucads]

Penso di aver capito. in realtà i risultati sono giusti entrambi in quanto primitive che differiscono per una costante, infatti
$ 1/(2(cosx)^2) = (1+(tgx)^2)/2= 1/2+ (tgx)^2/2 $

[seb]

Certo, è lo stesso risultato a meno di una costante.
Poi ti faccio notare che avresti potuto risolvere l'integrale in maniera decisamente più rapida espandendo il numeratore:\[\int\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos^3{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}\mathrm{d}x+\int\frac{1+\tan^2{x}}{\tan{x}}\mathrm{d}x\]che sono due integrali immediati.

[lucads]

Si certo, mi è venuto in mente dopo di usare questo modo rapido. Grazie infinite