Al corso di analisi abbiamo svolto quest'equazione:
$ x''(t)=-x(t)+cos(beta t) $
Partiamo calcolando l'integrale generale $ alpha ^2+1=0 $ , $ alpha_(1,2)=+-i $ , siccome le radici sono negative (?), questo risulta essere:
$ x(t)=c_1cos(betat)+c_2sin(betat) $
Calcolo la derivata seconda:
$ x'(t)=-c_1betasin(betat)+c_2betacos(betat) $
$ x''(t)=-c_1beta^2cos(betat)-c_2beta^2sin(betat) $
Adesso sostituisco nell'equzione di partenza, la soluzione generale $ x(t) $, e la sua derivata seconda $ x''(t) $
raccolgo $c_1$ e $c_2$, e ora succede qualcosa che non riesco a spiegarmi
$c_1cos(betat)(-beta^2+1) +c_2sin(betat)(-beta^2+1)=cos(betat) $ viene posto $c_2=0$, e semplificato il coseno ad ambo i membri, per cui risulta $c_1=1/(-beta^2+1)$ e $c_2=0$ con $beta!=+-1$
La spiegazione si è fermata qui; inoltre ad inzio esercizio era stata fatta una considerazione che spero di riportare in maniera corretta
$ h(t)=cos(betat) $
$ h(t)= e^(at)(q(t)cos(betat)+l(t)sin(betat))$
$ { ( a=0 ),( l(t)=0 ),( q(t)=1 ):} $
Allora mi chiedo è possibile che $c_2$ sia stato cancellato perché $c_2=l(t)$? Perché non fare lo stesso con $c_1$? Infine se questi valori ottenuti vadano integrati, perché ho visto video in cui alla fine bisognava operare un'integrazione.