Integrale fratta

[Lelouko]

Ho un problema, non riesco a risolvere questo integrale $\int (2e^x)/(e^(2x)+2e^x+5) $ , non riesco a capire a quale integrale noto appartiene, ancora più strano che provo a metterlo su Wolfram Alpha e mi dà che il risultato viene con l'arcotangente e cioè viene $ -arctan(2/(e^x+1)) $ tuttavia non capisco come, anche perchè secondo una delle formule degli integrali immediati, che è $\int (f(x)')/(m^2+f^2(x))= 1/m arctan (f(x)/m)+c $ con m>0, non capisco qual è f(x) e m
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.

[Oiram92]

\(\displaystyle f(x) = \frac{2e^x}{e^{2x}+2e^x+5} = 2 \cdot \frac{e^x}{(e^x+1)^2+2^2} = 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)^2+2^2}\)

[anto_zoolander]

Poni $e^x=y=>dxe^x=dy$

L'integrale diventa

$2int1/(y^2+2y+5)dy=2int1/(y^2+2y+1+4)dy$

$int(1/2)/(((y+1)/2)^2+1)dy=arctan((y+1)/2)+c$

E quindi $F(x)=arctan((e^x+1)/2)+c$

[Lelouko]

Ou grazie mille!