$ f(x)=(2x-8)/(x^2-8x+12) $
e mi viene chiesto di sviluppare la serie di Mclaurin specificando il più ampio intervallo di validità.
Procedo in questo modo:
Pongo $ x^2-8x+12=0 $ trovando i punti in cui il denominatore di annulla e trovo $x1=2, x2=6 $
per cui l'intervallo più ampio in cui la funzione è continua e quindi la serie ha validità è \(\displaystyle ]-2,2[ \).
Adesso studio $ f(x)=1/(x^2-8x+12) $ perchè so che è possibile moltiplicare per il numeratore in un secondo momento.
A questo punto pongo $ f(x)= A/(x-2) + B/(x-6) $ e trovo i valori di ogni singolo addendo.
Scrivo che $ 1/(x-2)=-(1/2)*(1-(x/2))= \sum_{k=0}^∞ x^n/2^{n+1} $
e $ 1/(x-6)=-(1/6)*(1-(x/6))= \sum_{k=0}^∞ x^n/6^{n+1} $
Ottenendo che $ f(x)= A/(x-2) + B/(x-6) = - \sum_{k=0}^∞ [(A/{2^{n+1}} + B/{6^{n+1}})*x^n] $
Infine considerando il numeratore, il risultato è $ f(x)= A/(x-2) + B/(x-6) = -(2x-8) \sum_{k=0}^∞ [(A/{2^{n+1}} + B/{6^{n+1}})*x^n]$
Il mio dubbio è se è il discorso del numeratore considerato in un secondo momento è valido o se ciò è possibile farlo solo nel momento in cui al numeratore è una potenza, e se fosse così cosa ne faccio del termine noto?
