convergenza serie termini positivi

[zio_mangrovia]

Devo dimostrare che la serie di seguito descritta è convergente:

$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))$

Sono 2 giorni che provo a dimostrare che:

1. $1/n$ è più grande di $ln((n+1)/n)$
   per asserire che il termini della serie sono positivi


2. che è convergente

ma non esco...

Grazie

[Ernesto01]

$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))=\sum_{k=1}^n(1/n - ln (1+1/n))$

Inoltre da taylor si ottiene $1/n-ln(1+1/n)~1/(2n^2)$ che converge, dunque anche la serie iniziale per il teorema del confronto

[zio_mangrovia]

$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))=\sum_{k=1}^n(1/n - ln (1+1/n))$

Inoltre da taylor si ottiene $1/n-ln(1+1/n)~1/(2n^2)$ che converge, dunque anche la serie iniziale per il teorema del confronto

Questo Taylor lo superficializzo troppo e non ne tengo di conto al momento giusto.
Thanks again.

[unvecchietto]

Ciao zio_mangrovia , allora la nostra serie è

$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$

Innanzitutto tu vuoi dimostrare che tale serie è a termini non negativi

Sappiamo che: una serie sarà a termini non negativi se $AA n in NN$ avremo che $a_n>=0$

consideriamo $ a_n =(1/n−ln((n+1)/n)) >=0 $

per le proprietà dei logaritmi sappiamo che $ ln((n+1)/n) = ln(n+1)-ln(n) $

allora avremo che $(1/n−ln((n+1)/n)) = 1/n-ln(n+1)+ln(n)>=0$

dobbiamo allora verificare che $1+n*ln(n)>=n*ln(n+1)$

otteniamo così

$ ln(n)^n>=ln(n+1)^n-1$

$ e^(ln(n)^n)>=e^(ln(n+1)^n-1$

sappiamo che $ e^(ln(n)^n) = e^(n*ln(n)) = n^n$

otteniamo così

$n^n>=((n+1)^n)/e $

$e*n^n>=(n+1)^n$ posso allora facilmente verificare che $AA n in NN$ tale uguaglianza sarà verificata.

Detto ciò , possiamo proseguire con lo studio della nostra serie , verifichiamo la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie

$lim_(n->\infty)(1/n−ln((n+1)/n))= 0$

Verificata così la condizione , nulla possiamo dire ancora sulla convergenza della nostra serie. Consideriamo allora

$1/n-ln((n+1)/n) ~~ 1/2n^2$

sia allora $b_n=1/(2n^2)$ consideriamo $lim_(n->\infty) a_n/b_n $

$lim_(n->\infty) (1/n−ln(n+1/n))2n^2 =1 $ avremo allora che $ L=1 $ dunque $L in (0,+\infty) $ da cui possiamo dire che

$a_n$ ha lo stesso carattere di $b_n$

sia allora $b_n= \sum_{n=1}^\infty 1/(2n^2) $ una serie armonica che necessariamente converge , allora anche

$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$ convergerà

Spero di essere stato d'aiuto

[zio_mangrovia]

Sei stato incredibilmente bravo! Complimenti... era quello che cercavo... ma come hai fatto?!?! Grazie per la pazienza.
Tutto chiarissimo a parte questi due punti.
Sto cercando di eliminare la ruggine dai neuroni, vista la mia età!

$e*n^n>=(n+1)^n$ posso allora facilmente verificare che $AA n in NN$ tale uguaglianza sarà verificata.

Non capisco come verificare questa disuguaglianza che senz'altro sarà banale.

Verificata così la condizione , nulla possiamo dire ancora sulla convergenza della nostra serie. Consideriamo allora

$1/n-ln((n+1)/n) ~~ 1/2n^2$

Il procedimento successivo è chiarissimo ma non capisco come si fa ad asserire che è $~~ 1/2n^2$, come si calcola questo valore?! Non mi torna, forse ciò è dovuto alla mia carenza nel calcolo dei limiti?

[unvecchietto]

Per la prima parte , in maniera molto semplice possiamo vederla in questo modo

$e⋅n^n≥(n+1)^n $

$(e⋅n^n)/(n+1)^n≥1$

sappiamo che $(n/(n+1))^n = (1-1/(n+1))^n$

dunque $e*(1-1/(n+1))^n>=1$

in particolare $AA n in NN$ avremo che la quantità $1-1/(n+1)$ sarà sempre positiva , perchè $1/(n+1)$ sarà sempre più piccolo di 1

detto ciò sicuramente avremo che $e*(1-1/(n+1))^n>=1$ è verificata


Per il secondo dubbio, dovresti rispolverarti un po' gli sviluppi in serie di Taylor e McLaurin , subito ti sarà chiaro.

[zio_mangrovia]

Tutto chiarissimo.
Per il secondo dubbio credevo si potesse calcolare il valore senza ausilio sviluppo di Taylor/McLaurin. Se lo applico mi torna perfettamente. Complimento per la prima dimostrazione.