Convergenza integrali impropri con parametro

[nick_10]

Salve a tutti!! Sto svolgendo alcuni esercizi sulla convergenza di integrali impropri. La consegna è la seguente:
"Stabilire per quali valori del parametro alfa>0 i seguenti integrali convergono". Di seguito allego alcuni esercizi con "possibili" svolgimenti. Volevo confrontarmi con voi e sarei molto lieto se arrivassero dei consigli per quelli che non sono riuscito a terminare. Grazie!

1) $\int_0^1sinx/x^adx$ 2) $\int_0^pix^2/tan^axdx$ 3) $\int_0^{+infty}1/(abs(logx)^a)dx$
4) $\int_0^{+infty}arctanx*sin(1/x^a)dx$ 5) $\int_0^{+infty}2^x/(x^a2^x+sinx+4)dx$ 6) $\int_0^{+infty}a^x/(x^2*2^x+sinx+4)dx$

Con $f(x)$ intendo tutte le integrande nei vari esercizi
1) Integrale improprio con unico problema in $x=0$. Confronto asintoticamente con $g(x)=1/x^(a-1)$. Il limite per x che tende a zero di $f(x)/g(x)$ è uguale a 1. Dunque l'integrale converge se e solo se converge l'integrale di $g(x)$, ovvero se e solo se $a-1<1$, $a<0$. Non esistono quindi valori di $a>0$ per cui l'integrale iniziale converga.

2)Integrale improprio con problemi in $x=0 e x=pi$. Spezzo l'integrale in due integrali $ I1=\int_0^1x^2/tan^axdx$ e $ I2=\int_1^pix^2/tan^axdx$. Il primo lo confronto asintoticamente con $g(x)=1/x^(a-2)$, dunque converge se e solo se $a-2<1, a<3$. Per lo studio di I2 invece avevo pensato un cambio di variabile per riportare il problema da $pi$ in zero. Ma non saprei poi come proseguire.

3)Integrale improprio con problemi in $x=0, x=1$ e a $+infty$. Per il problema in $x=1$ potrei sfruttare l'equivalenza asintotica $(logx)^a=log(x+1-1)^a ~ (x-1)^a$ per $x$ che tende a 1. Per i problemi a 0 e $+infty$ non saprei...magari qualche confronto che segue dal fatto che il logx è infinito di ordine inferiore?

4)Integrale improprio con problemi in $x=0$ e a $+infty$. Per il problema a $+infty$ confronto asintoticamente con $g(x)=1/x^a$, dunque l'integrale converge se e solo se $a>1$. Per il problema a zero invece posso passare attraverso l'assoluta integrabilità??

5)Integrale improprio con problema a $+infty$. Questo dovrebbe convergere per ogni a>0 o sbaglio??
6)In questo ultimo caso posso confrontare con $g(x)=a^x/2^x$? Poi dovrei studiare la convergenza di quest'ultimo