Esercizi funzioni integrali

[nick_10]

Salve a tutti! Ho tre esercizi sullo studio di funzioni integrali e i problemi a esso connessi. Su alcuni punti dei tre problemi penso di aver risposto correttamente, altri invece non so proprio come svolgerli. Grazie in anticipo a chi avrà la voglia e la pazienza di leggere.
1) Consideriamo la funzione $f(x)= \int_{x}^{x^2} e^(-t^2)dt$
a) Tracciare un grafico approx, determinando in particolare quanti sono i punti stazionari;
b) Determinare il polinomio di Taylor di ordine 5 di $f(x)$ con centro nell'origine;
c) Calcolare il limite per $x$ che tende a $+infty$ di $e^(x^2)f(x)$
2) a)Dimostrare che l'espressione $f(x)= \int_{0}^{x^2} y/((y^3+1)^(1/2)log(1+y))dy$ definisce una funzione continua su tutto R;
b) Calcolare al variare del parametro reale positivo a, i seguenti limiti: $lim_(x->0+)f(x)/x^a$ e $lim_(x->+infty)f(x)/x^a$
c) Determinare se $f(x)$ è Lipschtziana su tutto R oppure no;
3) Consideriamo la funzione $f(x)= \int_{x}^{x^3} sqrt(y)arctan^2y dy$
a) Dimostrare che $f(x)$ ammette minimo in $[0,+infty)$
b) Determinare ordine di infinitesimo e parte principale di $f(x)$ per x che tende a zero;
c) Dimostrare che la successione $1/f(n)$ è infinitesima; determinarne quindi ordine di infinitesimo e parte principale;
d) Dimostrare che per ogni b>0 l'equazione $f(x)=b$ ammette un'unica soluzione reale
e) Detta $x_n$ l'unica soluzione dell'equazione $f(x)=n$, determinare l'ordine di infinito e la parte principale di $x_n$

Per il primo non ci dovrebbero essere molti problemi. Ho studiato la funzione e ho tracciato un grafico. La funzione dovrebbe essere definita su tutto R, negativa tra 0 e 1, limitata sia superiormente che inferiormente, presentare due punti stazionari e due flessi. Anche per il polinomio di Taylor tutto dovrebbe andare liscio; questo è $-x+x^2+x^3/3-x^5/10+o(x^5)$. Per il limite invece si può usare il teorema di Hopital?? Portando $e^(x^2)$ al denominatore dovrebbe essere una forma indeterminata 0/0.

Il secondo invece: il punto a) che chiede di dimostrare che f(x) è continua su tutto R, studiando la zona di definizione dell'integranda g(y), essa è definita per x appartenente a $(-1,+infty)$. Quindi l'unico problema dovrebbe essere li...ma la funzione integranda non assume mai come estremo il valore -1 in R(o sto dicendo una cosa sbagliatissima??), dunque è definita su tutto R.
Per i limiti ho usato il teorema di Hopital in entrambi. Per il primo ottengo $lim_(x->0+)(2x^3/(sqrt(x^6+1)log(1+x^2))/(ax^(a-1))$ Usando gli sviluppi dovrebbe(??) risultare che se a=2 il limite è uguale a 1, se a<2 è uguale a zero, se a>2 il limite è uguale a $+infty$. Anche per il secondo usando lo stesso ragionamento si dovrebbe arrivare alla conclusione: se a=1 il limite è uguale a 1, se a<1 è uguale a $+infty$, se a>1 è uguale a zero
L'ultimo punto chiede di verificare se f(x) è Lipschitziana o meno su tutto R; ho considerato la derivata $f'(x)=2x^3/((sqrt(x^6+1)log(1+x^2))$ e ho osservato che $lim_(x->+infty)f'(x)=lim_(x->-infty)f'(x)=2$, dunque $f'(x)$ è limitata su R e f(x) è Lipschtiziana.

[nick_10]

Il terzo invece ho un po più di difficolta. Ho iniziato a impostare il primo e il secondo punto con scarsi risultati.
Poi invece per il quarto punto basta dimostrare che la funzione è bigettiva??