Svolgimento integrali per parti

[sam1709]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con lo svolgimento di questo integrale:
$ int_(0)^(+oo) e^(-st)sen(t) dt $
Lo svolgo per parti ed ottengo:
$ (1/s)int_(0)^(+oo) cos(t)e^(-st) dt $
Ora e rifaccio per parti ottengo:
$ (-1/s^2)int_(0)^(+oo) sen(t)e^(-st) dt $

Poi ho continuato a riprovare però non arrivo da nessuna parte. Dove sbaglio?

Grazie

[Zero87]

Poi ho continuato a riprovare però non arrivo da nessuna parte. Dove sbaglio?

Penso da nessuna parte, se arrivi a
$\int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt = (-1/(s^2)) \int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt + ...$
avresti
$\int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt+1/(s^2)\int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt= ...$
cioè
$(1+1/s^2) \int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt = ...$
dunque
$\int_0^(+\infty) e^(-st) sin(t)dt = \frac{"il resto che calcoli"}{1+1/(s^2)}$

Vedi se funziona, io vado a intuito, tu non dai uno svolgimento completo, quindi si potrebbe anche arrivare a uno $0=0$ che non porta da nessuna parte.

[Oiram92]

In pratica stai calcolando la trasformata di Laplace unilatera di \(\displaystyle sen(t) \) giusto? In tal caso puoi esplicitare il seno in forma esponenziale e calcolare :

\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st} \;\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} \;dt = \frac{1}{2i} \;\left( \int_{0}^{\infty} e^{-st+it}\;dt - \int_{0}^{\infty} e^{-st-it} \;dt \right) \)

ricordando che \(\displaystyle s \) è un numero complesso del tipo \(\displaystyle s = a + ib \) hai :

\(\displaystyle = \frac{1}{2i} \;\left( \int_{0}^{\infty} e^{-t(s-i)}\;dt - \int_{0}^{\infty} e^{-t(s+i)} \;dt \right) = \frac{1}{2i} \;\left( \int_{0}^{\infty} e^{-t(a+i(b-1))}\;dt - \int_{0}^{\infty} e^{-t(a+i(b+1))} \;dt \right) \)

adesso gli integrali sono noti quindi ( \(\displaystyle ^* \)supponendo \(\displaystyle a>0 \) cioè \(\displaystyle R_e(s) > 0 \)):

\(\displaystyle = \frac{1}{2i} \;\left( - \frac{1}{a+i(b-1)} \; \left[e^{-t(a+i(b-1))}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{a+i(b+1)} \;\left[e^{-t(a+i(b+1))}\right]_{0}^{\infty} \right) \)

\(\displaystyle = \frac{1}{2i} \;\left(\frac{1}{a+i(b-1)} - \frac{1}{a+i(b+1)} \right) = \frac{1}{2i} \; \frac{2i}{(a+ib)^2+1} = \frac{1}{s^2+1} \)

\(\displaystyle ^* \) se così non fosse l'integrale divergerebbe e non avrebbe senso. Inoltre, quella "supposizione" è già vera perchè la regione di convergenza (determinata tramite l'ascissa di convergenza) ci impone il fatto che la funzione sia \(\displaystyle \mathcal{L} \)-trasformabile \(\displaystyle \forall s \in \mathbb{C} : R_e(s)>0 \).

[pilloeffe]

Ciao sam1709,

Agli ottimi interventi di tutti coloro che mi hanno preceduto, aggiungo che i due integrali

$\int e^{ax} \sin (mx) dx = frac{e^{ax}[a \sin(mx) - m\cos (mx)]}{a^2 + m^2} + c$

$\int e^{ax} \cos (mx) dx = frac{e^{ax}[a \cos(mx) + m\sin (mx)]}{a^2 + m^2} + c$

sono piuttosto standard, fra i primi che ricordo di aver risolto col procedimento dell'integrazione per parti iterata che ti ha già suggerito @Zero87, per cui non mi dilungo oltre. Posto $a := - s$, $x\equiv t$, si ha:

$\int e^{-st} \sin (mt) dt = frac{e^{-st}[-s \sin (mt) - m \cos (mt)]}{s^2 + m^2} + c$

$\int e^{-st} \cos (mt) dt = frac{e^{-st}[-s \cos (mt) + m \sin (mt)]}{s^2 + m^2} + c$

Integrando da $0$ a $+infty$, si ottengono i due integrali seguenti:

$\int_0^{+infty} e^{-st} \sin (mt) dt = frac{m}{s^2 + m^2}$

$\int_0^{+infty} e^{-st} \cos (mt) dt = frac{s}{s^2 + m^2}$

purché $ Re(s) > 0$. Quello che hai proposto è il primo di questi ultimi due integrali con $m = 1$.