$(a+b)^p$ $<=$ C$(a^p+b^p$)

[thecrazy]

Se a,b sono numeri reali non negativi e p è un numero reale $>=$ 1 esiste una costante C che non dipende da a e b tale che $(a+b)^p$ $<=$ C$(a^p+b^p$)? Mi servirebbe per scopi analitici ma credo sia giusto chiederlo nella sezione teoria dei numeri.

[j18eos]

Dato che il quesito è equivalente a domandare se esiste \(\displaystyle C\) reale positiva tale che:
\[
\forall a,b\in\mathbb{R}_{>0},\,\frac{(a+b)^p}{a^p+b^p}\leq C;
\]
essendo:
\[
\frac{(a+b)^p}{a^p+b^p}=1+\frac{pab^{-1}+\dots+pa^{p-1}b}{a^p+b^p},
\]
fissato il numero (intero) \(\displaystyle p\), si deve massimizzare il valore di \(\displaystyle\frac{pab^{-1}+\dots+pa^{p-1}b}{a^p+b^p}\) in \(\displaystyle(\mathbb{R}_{>0})\times(\mathbb{R}_{>0})\).

...e detto ciò: son troppo pigro per fare il calcolo!

[thecrazy]

p non è per forza intero però.

[j18eos]

Avevo letto male!

Ma il ragionamento resta valido; è una rottura di scatole proseguire coi calcoli...

Se non ti piacciono i calcoli, come a me, mediante un'analisi qualitativa si potrebbe dimostrare che la funzione
\[
f(a,b)=\frac{pab^{p-1}+\dots+pa^{p-1}b}{a^p+b^p}
\]
è limitata in \(\displaystyle(\mathbb{R}_{>0})\times(\mathbb{R}_{>0})\).

[Martino]

Dividendo tutto per $b^p$ e chiamando $x=a/b$ ottieni $(x+1)^p \leq c(x^p+1)$, diventa uno studio di funzione in una variabile, il che dovrebbe risultare fattibile.

[thecrazy]

.

[Martino]

Se può interessare ho fatto il conto come ho indicato nell'intervento precedente e viene $c=2^p$.

[gugo82]

Beh, è una questione assai banale.

Infatti, la $f(x):=x^p$ con $p\ge 1$ è convessa (strettamente se $p>1$) in $[0,+oo[$ dunque per ogni $a,b\geq 0$ risulta:
\[
f\left( \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right) \leq \frac{1}{2}\ \Big( f(a) + f(b)\Big)
\]
cioè:
\[
(a+b)^p\leq C\ (a^p + b^p)
\]
con $C=2^{p-1}$ e disuguaglianza stretta solo se $p>1$ ed $a\ne b$.

Comunque, la cosa si può far discendere anche dalle disuguaglianze tra medie. Detta $M_1$ la media aritmetica e $M_p$ la media d'ordine $p$, cioè:
\[
M_1(a,b) := \frac{a+b}{2}\qquad \text{e}\qquad M_p(a,b) := \left( \frac{a^p + b^p}{2}\right)^{1/p}
\]
è noto che:
\[
M_1(a,b) \leq M_p(a,b)
\]
con disuguaglianza stretta solo se $p>1$ e $a\ne b$; da qui si trae la disuguaglianza richiesta sempre con $C=2^{p-1}$.

[dissonance]

E c'è ancora un altro punto di vista che mi pare non sia stato trattato. Se $f=f(x_1\ldots x_n)$ e $g=g(x_1\ldots x_n)$ sono funzioni continue e omogenee dello stesso grado (ossia $f(\lambda x_1\ldots \lambda x_n)=\lambda^p f(x_1\ldots x_n)$ per ogni $\lambda>0$, e lo stesso per $g$), e se $g(x_1\ldots x_n)\ne 0$ per $(x_1\ldots x_n)\ne 0$, allora il rapporto
\[
F(x_1\ldots x_n)=\frac{f(x_1\ldots x_n)}{g(x_1\ldots x_n)}\]
è una funzione omogenea di grado $0$ e quindi
\[
|F(x_1\ldots x_n)|\le C= \max\left\{ F(y_1\ldots y_n)\ |\ y_1^2+\ldots+ y_n^2=1\right\}.\]
La costante $C$ esiste finita grazie al teorema di Weierstrass: è il massimo di una funzione continua su un insieme compatto.

Da qui discendono quindi varie disuguaglianze: \( |a+b|^p\le C (|a|^p+|b|^p)\), \( |x_1^2+x_2x_3|\le C(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\) eccetera. Lo svantaggio di questo metodo "soft" è che si perde il valore esatto della costante.

[Martino]

Mi stavo giusto chiedendo se è vero che $(a_1+...+a_m)^p \leq m^{p-1} (a_1^p+...+a_m^p)$ dove gli $a_i$ sono positivi e $p \geq 1$.