Definizione di funzione crescente e decrescente

[marco955]

Salve,
sul mio libro viene data la seguente definizione di funzione crescente.

Data una funzione $f:X->R$, con $XsubeR$, si dice che f è strettamente crescente in un intervallo $IsubeX$, se
$AA x_1,x_2inI, x_1<x_2=>f(x_1)<f(x_2)$

Adesso mi chiedo come è possibile, in base a tale definizione, parlare di funzione crescente su un intervallo nel caso in cui ad esempio sia $X=QQ$? Infatti in tal caso non possiamo determinare alcun intervallo I che sia contenuto in X. Perchè allora non si preferisce adottare la seguente definizione?

Data una funzione $f:X->R$, con $XsubeR$, si dice che $f$ è strettamente crescente in un intervallo $I$, se
$AA x_1,x_2 in (InnX), x_1<x_2=>f(x_1)<f(x_2)$

Lo stesso discorso può essere esteso anche alla definizione di funzione decrescente.

Grazie infinite a chi mi risponderà.

[anto_zoolander]

$I$ è aperto o chiuso?
Perchè se $I$ può essere chiuso e $q$ un razionale, allora $I=[q,q]$ è un intervallo.
Ma non si possono comunque prendere $x_1,x_2in[q,q]$ tale che $ x_1>x_2$

Dovremmo definire la nozione di intervallo nei razionali...
Considera che su $RR$ un intervallo è un insieme convesso rispetto all'ordine, cioè che contiene tutti i numeri che stanno tra gli estremi
Usando questa definizione, è insensato parlare di intervallo nei razionali.
Poiché ogni intervallo sarebbe del tipo $[q,q]$ e non potrebbe essere altrimenti, poiché $(q,q)=[q,q)=(q,q]=emptyset$
Dunque parlare di funzione crescente in un 'intervallo di razionali' non avrebbe alcun senso.

[CaMpIoN]

Ma l'insieme dei numeri razionali non è contenuto anche nei numeri reali? Inoltre la definizione di intervallo può essere estesa su ogni insieme ordinato e non per forza sui reali, come ci dice qui qui

[marco955]

Innanzitutto grazie della risposta. Avevo comunque capito che non è possibile definire gli intervalli in $QQ$. Proprio a tal proposito ho proposto una modifica della definizione che ho dato inizialmente( e che riporta il mio libro), nel seguente modo


Data una funzione $f:X→R$, con $X⊆R$, si dice che f è strettamente crescente in un intervallo $I$($I$ è un intervallo reale), se
$∀x_1,x_2∈(I∩X),x_1<x_2⇒f(x_1)<f(x_2)$

Secondo può essere corretta o devo attenermi a quella che riporta il libro? In quest'ultimo caso però rimane il problema di non poter parlare di funzione crecscente per quelle funzioni che hanno dominio $QQ$ (o altri sottoinsiemi di $RR$) anche se nella definizione è specificato che essa debba valere per qualunque sottoinsieme $X$ di $RR$.

EDIT
Stando a wikipedia, come mi è stato fatto notare da CaMpIoN, un intervallo può essere un qualsiasi sottoinsieme di un insieme ordinato (cosa di cui non ero a conoscenza ). Direi che così si spiega la definizione data dal mio libro. Grazie mille ad entrambi

[anto_zoolander]

Per CaMpIoN
leggi questo

Per Marco
scusa perché a questo punto non prendi un generico sottoinsieme di $RR$ senza introdurre per forza il concetto di intervallo?
Se $AsubseteqRR$ è un sottoinsieme di $RR$ contenente solo razionali, puoi anche dire che $f$ è crescente se comunque presi due punti del dominio(uno maggiore dell'altro), le immagini mediante $f$ mantiene l'ordine.
Scusa se ho ammazzato la formalità.

$f:QQ->RR$

$f(x)=x$ notiamo che $forall x_1,x_2inQQ:x_1>x_2=>f(x_1)>f(x_2)$

[Ernesto01]

In massima generalità.

Sia $f:A->B$ una funzione dove $A$,$B$ sono insiemi qualsiasi dotati di un ordinamento parziale (li denoto entrambi $<$ ma sono due relazioni d'ordine distinte, una su $A$ e una su $B$).
Allora f è crescente se $a<b$ implica $f(a)<f(b)$.

E' evidente che porre una definizione del genere su un libro di analisi 1 è controproducente, dato che è troppo generica e non ha finalità diverse dalla tua definizione che è più operativa in $RR$. Volevo solo farti notare che in matematica è possibile generalizzare un po' qualsiasi cosa.

Comunque da questa definizione è evidente che, per esempio, $g:QQ nn I->RR$ con $g(x)=x$ è crescente.
E infine, le due definizioni sono entrambe corrette , la seconda è più generica della prima.

[anto_zoolander]

Mi ero perso la perla di Fioravante sul fatto che un intervallo fosse del tipo ${x inX:a<x<b}$
Così in effetti è molto più logico generalizzare il tutto

[CaMpIoN]

anto_zoolander: In pratica ovunque ho studiato gli insiemi numerici sono espressi secondo una relazione di inclusione tra gli uni e gli altri fino ad arrivare ai complessi e su. Leggi qui