integrali impropri

[mauri54]

Ciao a tutti.
Se ho una funzione \( f\in C((a,+ \infty)) \), con \( a\in\mathbb{R} \) tale che vale una delle seguenti ipotesi
1. \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=l\ne 0 \);
2. \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\infty \);
allora \( \displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\infty \)?
Direi di si visto che l'area sottostante al grafico della funzione in tale intervallo rimane completamente "aperta" e non si riesce ad approssimarla.
Ma come si dimostra?

[LLG GKV]

Una funzione continua in un chiuso di lunghezza finita ha la differenza fra massimo e minimo finita. in virtù di ciò, il tuo integrale è scrivibile come
$ int_(a)^(\infty) f dx = K + int_(b)^(\infty) f dx $ dove b è tale che per $ x>b $ , $ |f-l|< l $ ossia, f è o definitivamente negativa o definitivamente positiva ed inoltre $ | int_(b)^(b+c) fdx | >| lc | $ per il teorema di Lagrange, dunque avremo che il tuo integrale diverge essendo K una costate finita e essendo che l'ultimo integrale diverge.