Continuità topologica

[antonio9992]

In analisi la continuità è associata al concetto di limite.


La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)

A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione

In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)

Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?



In sintesi:

1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)

2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni

3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione

Che casino

[antonio9992]

Qualcuno sa cosa sia una funzione di Cauchy? Dovrebbe essere qualcosa relativa alle funzioni continue, cercando su google trovo solo il continuo di Cauchy, forse è un teorema che di solito è chiamato differentemente

[vict85]

La topologia usa un concetto di continuità globale, mentre in analisi matematica si usano generalmente definizioni locali. In \(\displaystyle \mathbb{R} \) ed altri spazi molto regolari, le varie definizioni sono sostanzialmente equivalenti, ma le definizioni topologiche (esistono molti definizioni equivalenti di spazi topologici e quindi altrettanti definizioni di continuità¹) possono essere usate per spazi molto differenti da quelli che hai incontrato finora e risultano quindi strumenti molto più potenti.

Per la definizione topologica penso possa essere utile passare attraverso la definizione topologica che usa gli intorni e capire bene il legame tra aperto ed intorno (e magari leggere o fare la dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni).

I concetti di successione e di convergenza esistono anche negli spazi topologici (ed esistono almeno due generalizzazioni del concetto di convergenza di successioni, ma non è il caso di parlarne ora). Nota però che la continuità sequenziale non è equivalente alla continuità topologica. Tra alcuni tipi di spazi topologici, esistono funzioni sequenzialmente continue in ogni punto che non sono continue.

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Note

1. La più usata definisce lo spazio topologico come uno spazio unito ad una famiglia di aperti che soddisfano certe proprietà. Ma esistono assiomi anche per i chiusi e gli intorni e da ogn'uno di questi insiemi di oggetti si possono definire tutti gli altri. Per le altre definizioni guarda qui. ↑

[antonio9992]

Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:

f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi

Per => basta applicare il teorema di Weiestrass

Per <= basta usare la definizione di limite

[antonio9992]

Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)

(Domani leggerò quello che hai scritto)

[Raptorista]

Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:

f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi

Per => basta applicare il teorema di Weiestrass

Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso!

[antonio9992]

Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:

f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi

Per => basta applicare il teorema di Weiestrass

Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso!

Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera, se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo

[javicemarpe]

Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:

f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi

Per => basta applicare il teorema di Weiestrass

Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso!

Troppo falso! For example, in every topologic space you have that constant functions are continuous. Now, in $\mathbb{R}$, given $c\in\mathbb{R}$, the constant function $f(x)=c$ maps $(0,1)$ (an open set) onto the set ${c}$, which can not be open because $\mathbb{R}$ is a connected space.

[Raptorista]

Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera

Questo è vero solo in dimensione finita e solo se ha senso parlare di massimo e minimo, cioè se il codominio è ordinato.

se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo

Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.

[javicemarpe]

Also, if you define a constant function from $\mathbb{R}$ to a topologic space with more than one point, $(X,\tau)$, equipped with the topology $\tau=\{\emptyset, X}$, then you have a continuous function which maps a closed set onto a non closed set.