Continuità topologica

[antonio9992]

Se prendo due qualsiasi sottoinsiemi di R la loro unione e la loro intersezione appartiene ancora ad R, quindi sono tutti aperti? Anche quelli che non includono i loro estremi che io chiamo chiusi?

Ora odio la topologia

[vict85]

No, la topologia è definita da uno specifico insieme di aperti. Generalmente si definisce a partire da una base. D'altra parte è importante notare che quella standard non è l'unica topologia su \(\mathbb{R}\) e che una funzione è continua rispetto alle topologie definite nel suo dominio e nella sua immagine. Ovvero essere continua non è una proprietà intrinseca nella funzione.

[javicemarpe]

Da:

https://it.m.wikipedia.org/wiki/Insieme_aperto

Perché la collezione T sia una topologia deve valere:

1) l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
2) l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
3) l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T

Ed ogni insieme di T è detto aperto per definizione.


Cioè ogni insieme di una topologia è detto aperto

Una topologia è semplicemente un insieme chiuso rispetto all'unione e all'intersezione di collezioni di suoi elementi (il vuoto e l'insieme stesso sono collezioni di suoi elementi, tutti e nessuno)

Ma ora l'insieme chiuso [1,2] di reali non è anche un aperto per definizione topologica?

It is open in the topologic space $([1,2],\tau)$, where $\tau=\{A\cap[1,2]:A\text{ is an open set in }\mathbb{R}\}$, but it cannot be an open subset of $\mathbb{R}$ with the topology of the metric space $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

Also, I think you didn't understood. A topology is not the same as a topologic space. A topology $T$ in a set $X$ is, as Wikipedia said, a family of subsets of $X$ with some properties. A topologic space is a pair $(X,T)$ where $X$ is a set and $T$ is a topology defined on that set. We say that a subset $A\subset X$ is an open subset of $X$ if $A$ is in the family $T$ and we say that $A$ is closed if there exists a set $C\in T$ such that $A=C^c$ (so, the closed sets are the sets which can be written as the complement of an open set).

For example, the sets $(-\infty,1)$ and $(2,\infty)$ are open sets in the usual metric topology on $\mathbb{R}$ (you can prove this as a very easy exercise) and so is the set $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$. And that's why the interval $[1,2]$ is a closed set in this topology, because $[1,2]=[(-\infty,1)\cup(2,\infty)]^c$.

On the other hand, if we take the space $([1,2],\tau)$ I defined above, then $[1,2]$ is an open set by the definition of topology (the "total space" $X$ is in the topology so, in this case, $[1,2]\in \tau$).

[antonio9992]

Si ho sbagliato

Devo vederle meglio alcune cose

[javicemarpe]

Yes, you should

[antonio9992]

Hey, queste cose non le ho mai studiate, le ho prese da wikipedia, cerco eldi capire, un po' di rispetto

[javicemarpe]

I didn't want to offend you. I only wanted to say that you should study more carefully the concept of topology, as you said.

[antonio9992]

I didn't want to offend you. I only wanted to say that you should study more carefully the concept of topology, as you said.

Si si scherzo, "purtroppo" passo troppo tempo a studiare per esami che non sono miei

https://it.m.wikipedia.org/wiki/Spazio_topologico

Ultima, credo, domanda(e poi studio): perché qui nei titoli dei capitoli :

Definizione tramite "aperti"
Definizione tramite "intorni"

ci sono le virgolette?

[vict85]

E' una scelta stilistica dell'autore.

[antonio9992]

Però non mi avete ancora risposto, l'ho chiesto più volte:
la concezione di continuità nel modo tanto speciale che piace a voi, cioè quella con gli intorni, non cade quando si trattano questi spazi "esotici"?