Disequazioni logaritmiche e goniometriche

[abaco90]

Ciao a tutti, devo risolvere queste due disequazioni distinte:

$ x*(ln3x)*(cosx) - (senx) > 0 $

$ x*(log^2 3x) > 0 $

...ma non so da che parte cominciare, qualcuno mi può aiutare? Grazie!

[pilloeffe]

Ciao abaco90,

Beh, la seconda è semplice perché è posta nella forma del prodotto di due fattori, $x$ e $log^2(3x)$: quindi, ricordando che l'argomento del logaritmo non può essere negativo, è soddisfatta $AA x \in \RR^{+} - \{frac{1}{3}\}$ (solo perché $x = frac{1}{3}$ annulla il secondo fattore e nella disequazione che hai proposto c'è il $>$; se ci fosse stato $\ge$ sarebbe andata bene anche la soluzione $x = frac{1}{3}$).

La prima invece la vedo più complicata e risolvibile solo per via numerica oppure grafica; raccogliendo $cos x$ ti puoi ricondurre alla forma del prodotto di due fattori seguente:

$cos x \cdot [x ln(3x) - tan x] > 0$

Anche qui per l'esistenza del logaritmo deve essere $x > 0$, però per $x > 0$ il primo fattore $cos x$ può anche essere negativo, per cui possono verificarsi entrambi i casi seguenti:
1) $cos x > 0$ e $x ln (3x) - tan x > 0$: qui occorre studiare la funzione $x ln (3x)$ e vedere quando il suo grafico sta sopra quello della funzione $tan x$ (il grafico di quest'ultima è ben noto);
2) $cos x < 0$ e $x ln (3x) - tan x < 0$: qui, posto che si sia già studiata la funzione $x ln (3x)$ per il caso precedente, occorre vedere quando il suo grafico sta sotto quello della funzione $tan x$.

Non semplicissimo, ma neanche insormontabile... Un aiuto da WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+ln(3x)+%3D+tan+x

[abaco90]

Grazie mille!