Equazioni differenziali complete di primo ordine e problema di Cauchy

[RuCoLa]

Buonasera,
non mi è chiaro come funzioni esattamente il calcolo della funzione integrale nelle equazioni differenziali complete di primo ordine del tipo : $y'(t) + a(t)y(t) = f(t)$ ho capito come si arriva all'integrale generale del tipo $y(t) = ce^(-A(t))+ e^(-A(t))\int f(t)e^(A(t))$ con $A(t) = \int a(t)$. A questo punto dato $y(t_0) = y_0$ l'integrale particolare dell'equazione diventa $y(t) = y_0 e^(-A(t))+ e^(-A(t))\int_{t_0}^t f(s)e^(A(s))ds$. Perchè l'estremo di integrazione inferiore è $t_0$ e $c$ è proprio $y_0$?
Grazie molte

[21zuclo]

La formula è giusta.. però ti dico il teorema in generale, così spero che capisci i tuo dubbio

Teorema
Siano $ p(x), q(x) $ funzioni continue nell'intervallo $ I sube RR $, e siano $ x_0,y_0 \in RR $.
Allora il problema di Cauchy $ { ( y'+p(x)y=q(x) ),( y(x_0)=y_0 ):} $

ha una ed una sola soluzione, definita nell’intervallo I, data dalla funzione
$ y(x)=[exp(-\int_(x_0)^(x)p(t)dt)]\cdot (y_0+\int_(x_0)^(x)q(t)exp(\int_(x_0)^(t)p(s)ds)dt) $

Inoltre, tutte le soluzioni in I dell’equazione $ y'+p(x)y=q(x) $

sono
$ y(x)=[exp(-\int_(x_0)^(x)p(t)dt)]\cdot (c+\int_(x_0)^(x)q(t)exp(\int_(x_0)^(t)p(s)ds)dt) $

ove $ x_0 $ `e un punto qualsiasi (fissato) dell’intervallo I, mentre \( c \) è una costante reale arbitraria.

[RuCoLa]

Non so se ho capito: nella dimostrazione di come si giunge all'integrale indefinito si scrive $y'(t)e^(\int a(t)dt) + a(t)e^(\int a(t)dt)*y(t) = f(t)e^(\int a(t)dt) -> [y(t)e^(\int a(t)dt)]' = f(t)e^(\int a(t)dt)$ a questo punto si integra da entrambe le parti cioè $\int [y(t)e^(A(t))]' dt = \int f(t)e^(A(t)) dt + c$ ma in realtà si "intende" $\int_{t_0}^{t} [y(s)e^(A(s))]' ds = \int_{t_0}^{t} f(s)e^(A(s))$ con $t_0$ punto qualsiasi in $I$, cioè scelgo un intervallo di integrazione a piacere. Se poi scelgo $t_0$ proprio uguale a quello che mi viene dato come condizione iniziale $y(t_0) = y_0$ ho un'unica soluzione, cioè quella con $c = y_0$. E' giusto?
Grazie

[21zuclo]

Usiamo delle notazioni un po' diverse.. ma va bé

Comunque

Se poi scelgo $t_0$ proprio uguale a quello che mi viene dato come condizione iniziale $y(t_0) = y_0$ ho un'unica soluzione, cioè quella con $c = y_0$. E' giusto?

Mi sembra proprio di sì!

[RuCoLa]

Bene grazie mille La parte che mi dava un po' di dubbi era quel "passaggio" da integrale indefinito a definito.