Sistema di equazioni differenziali

[hiruma92]

Salve,
ho dei problemi nello svolgere questo esercizio, sia nel applicare il teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy, sia nella linearizzazione del problema.

E' dato il seguente sistema differenziale:

$\{(x^'(t) = x(t) - sin(y(t))),(y^'(t) = x(t) - cos(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$

1) stabilire se esiste un unica soluzione del sistema dato e se tale soluzione è globale.
2) scrivere il problema linearizzato e determinare tutte le soluzioni

Qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Beh, in cosa hai difficoltà?

Comincia a scrivere il tuo PdC in forma vettoriale:
\[
\begin{cases}
\mathbf{x}^\prime (t) = \mathbf{f} \Big( t,\mathbf{x}(t)\Big)\\
\mathbf{x} (0) = (\pi, \pi)
\end{cases}
\]
e vedi un po' quali sono le proprietà del secondo membro $\mathbf{f}(t,\mathbf{x})$; da ciò deduci qualcosa circa l'esistenza e l'unicità (locale e globale) della soluzione.
Prova!

[hiruma92]

Mi dispiace ma proprio non so dove andare a sbattere la testa

Intendevi di scrivere il sistema così:

$\{(x^'(t) = y'(t) + cos(y(t)) - sin(y(t))),(x(0) = π),(y(0) = π):}$

Poi però cosa dovrei fare?
Grazie ancora

[gugo82]

No... Hai un libro di riferimento?
Ci dai dato un'occhiata?

[hiruma92]

Mi dispiace ma non trovo tanto materiale su questa forma di sistemi di equazioni differenziali. Conosco modi e teoria di risoluzione per quelli presentati con un sistema di $Y'1(x)$ e $Y'2(x)$. In più mi mette in difficoltà il fatto che la $y(x)$ sia nell'argomento del $sin$ e del $cos$.

[gugo82]

Possibile che un banalissimo cambiamento di notazione non ti faccia vedere che è la stessa cosa?
La variabile indipendente si chiama $t$, invece che $x$, e le funzioni incognite si chiamano $x(t)$ ed $y(t)$, invece che $y_1(t)$ ed $y_2(t)$, ma è sempre la stessa cosa.

Se proprio ti crea problemi, puoi rifarti alle notazioni cui sei abituato e riscrivere il sistema come:
\[
\begin{cases}
y_1^\prime (x) = y_1(x) - \sin y_2(x)\\
y_2^\prime (x) = y_1(x) - \cos y_2(x)\\
y_1(0) = \pi\\
y_2(0) = \pi
\end{cases}\; \ldots
\]
Ora sai come muoverti?