Disequazione goniometrica

[abaco90]

Ciao a tutti, devo risolvere questa disequazione:

$ -cos(1/(x+π/2)) - 2*(x+π/2)*sen(1/(x+π/2)) $

Ma non so come fare, qualcuno mi può aiutare? Grazie!

[javicemarpe]

It's difficult to solve if there's no inequation

[abaco90]

Ops, mi sono dimenticato.. La riscrivo

$ -cos(1/(x+π/2)) - 2*(x+π/2)*sen(1/(x+π/2)) > 0 $

[pilloeffe]

Ciao abaco90,

Innanzitutto la semplificherei ponendo $t := frac{1}{x + frac{\pi}{2}}$, dato che naturalmente deve essere $x + frac{\pi}{2} \ne 0 \implies x \ne -frac{\pi}{2}$. Così facendo, la disequazione che hai proposto si può scrivere nel modo seguente:

$- cos t - frac{2}{t}\cdot sin t > 0 \implies - cos t > frac{2}{t}\cdot sin t $

Qui i casi possono essere diversi, perché per $t > 0$, cioè per $x > -frac{\pi}{2}$, $cos t$ può essere sia positivo che negativo. Lo stesso accade per $t < 0$. Per brevità, vista anche l'ora, considererò il solo caso in cui $t > 0$ e $cos t > 0$, lasciando a te lo studio degli altri casi. In tal modo, dividendo per $cos t$ e moltiplicando per $frac{t}{2}$, la disequazione da risolvere diventa la seguente:

$- frac{t}{2} > tan t $

Si tratta di vedere dove il grafico della ben nota funzione $y = tan t$ sta sotto il grafico della retta $y = - frac{t}{2}$.

Un aiuto da WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-t%2F2+%3D+tan+t