Derivata di un versore

[Aviz]

Ciao, ho delle perplessità di carattere formale sul come si ricava esplicitamente la derivata di un versore.
Ora dato $ u (t) $ versore, $ (du(t))/dt _|_ u (t) $, e fin qui tutto bene.
($ Deltau=u(t+Deltat)-u(t) $)

Non ho problemi neanche con la seguente dimostrazione: $ lim _(Deltat ->0)|\Deltau| / (\Deltat) =lim _(Deltat ->0)(2 |u| sen ((\Deltapsi)/2))/(\Deltapsi) (\Deltapsi)/(\Deltat)= lim _(Deltapsi ->0) (sen(Deltapsi)/2)/((Deltapsi)/2) lim _(Deltat ->0) (\Deltapsi)/(\Deltat)= (dpsi)/(dt) $ ($Deltat rarr 0 rArr Deltapsi rarr 0$)
A questo punto il mio libro dice che quando $Deltat rarr 0$, $Deltau$ tende a porsi perpendicolarmente a $u$, lungo il versore $n$. Combinando quest'ultima considerazione con ciò che ci si siamo ricavati prima si ottiene che $(du)/dt=(dpsi)/dt n$.

Questa equazione mi sembra una forzatura logica: sono d'accordo sul fatto che la derivata debba avere come versore $n$, ma non vedo perché la sua componente scalare debba essere $(dpsi)/dt$. Cosa ha a che fare $ lim _(Deltat ->0)|\Deltau| / (\Deltat) $ con $ (du)/dt=lim _(Deltat ->0)\(Deltau) / (\Deltat) $?

Grazie in anticipo delle risposte, spero che riusciate a risolvere questo mio dilemma .

[gugo82]

Dire che $\mathbf{u}(t)$ è un versore equivale ad asserire che $|\mathbf{u}(t)|^2 =\mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{u}(t)=1$ per ogni $t$.
Conseguentemente, la derivata prima del prodotto scalare $\mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{u}(t)$ è nulla (perchè la funzione è costante) e dalla regola di derivazione del prodotto segue che:
\[
2\ \mathbf{u}^\prime (t)\cdot \mathbf{u}(t) = 0
\]
ergo $\mathbf{u}^\prime (t)$ è normale ad $\mathbf{u}(t)$.
Se $\mathbf{u}(t)$ giace nel piano, esiste un unico versore $\mathbf{n}(t)$ ortogonale ad $\mathbf{u}(t)$ che forma con tale vettore una coppia destrorsa (i.e., con lo stesso orientamento dei versori degli assi); dunque:
\[
\mathbf{u}^\prime (t) = \lambda (t)\ \mathbf{n}(t)
\]
con $\lambda (t)$ opportuna funzione scalare da determinare.

Ma allora:
\[
|\lambda (t)| = |\mathbf{u}^\prime| = \lim_{\Delta t \to 0} \left| \frac{\mathbf{u}(t+\Delta t) - \mathbf{u}(t)}{\Delta t}\right|
\]
e ciò lega il modulo della derivata, cioè \(|\lambda (t)|\), col limite del modulo del rapporto incrementale.

[Aviz]

Innanzitutto grazie della risposta. Ho ancora però alcuni dubbi.
Per prima cosa nell'affermare $ |u'(t)|=lim_(Deltat->0) |(u(t+Deltat)-u(t))/(Deltat)| $ utilizzi qualche proprietà?
Infatti $|u'(t)|=|lim_(Deltat->0) (u(t+Deltat)-u(t))/(Deltat)|$.

In secondo luogo assumendo vero quanto scritto sopra nella prima equazione e combinandolo con ciò presente nei precedenti post si ha $ |lambda(t)|= lim_(Deltat->0) |(u(t+Deltat)-u(t))/(Deltat)|= lim _(Deltat ->0)|\Deltau| / (\Deltat) = psi'(t) $ e quindi $|lambda(t)|=psi'(t)$.

Quest'ultima equazione mi dice soltanto che $AAt$, $lambda(t)$ deve essere uguale o a $psi'(t)$ o a $-psi'(t)$, non potendo quindi affermare che $lambda(t)=psi'(t)$, obbiettivo della dimostrazione.