Esercizi di Alvino

[Taffo94]

Salve a tutti. Il mese prossimo vorrei dare analisi 1 e mi stavo esercitando con le prove vecchie del mio prof. Due esercizi mi sono capitati dove non capivo cosa mi chiedesse. Li espongo:
1-
sia $f(x)=[(x-2)^2(x-1)]^(1/3)$
determinare il più grande intervallo di invertibilità di f contenente x=1

2-
sia $f(x)=e^(2/x)(2x-1)$
stabilire il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=1

Sarà che non ho seguito molto ma sinceramente non ho capito cosa chieda di preciso. Se mi aiutate mi fareste un grande favore

[pilloeffe]

Ciao Taffo94,

Ora sono un po' occupato, per cui ti rispondo solo all'esercizio 2, che è equivalente al sistema seguente:

$\{(y = e^(2/x)(2x-1)),(y = 1):}$

Si tratta cioè di determinare le intersezioni fra la funzione $y = e^(2/x)(2x-1)$ e la retta orizzontale $y = 1$. Lo studio della funzione $y = e^(2/x)(2x-1)$ è abbastanza semplice e te lo lascio come esercizio. Disegnando un grafico di massima, si vede subito che la richiesta equazione $f(x) = 1$ ha una sola soluzione. Se poi vuoi sapere qual è, si trova che $f(x) = 1$ per $x = 0.509897$, ma per determinarla occorrono metodi numerici o WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(2%2Fx)+(2x+-+1)+%3D+1

[Taffo94]

Grazie, pilloeffe.
Non sapevo proprio dove mettere le mani. Comunque per i calcoli non ci sono problemi. Ora devo solo aspettare che qualcuno mi dia un aiuto per il primo quesito

[gugo82]

Tieni presente che una funzione definita in un intervallo e ivi continua è invertibile se e solo se essa è strettamente monotòna.
Detto ciò, qual è il più grande intervallo contenente $1$ in cui la funzione dell'Esercizio 1 (che è continuissima) è strettamente monotòna?