Svolgimento limite

[Pigreco2016]

Vorrei dimostrare che $sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...+sqrt(2))))$ (abbiamo $n$ radici quadrate in tutto) tende a 2 quando $n$ tende ad $infty$. Qualche dritta???

[javicemarpe]

Write $x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}$ for $n$ infinite (this is somehow a heuristic way to think). Then look at $x^2$ and relate it with $x$. When you see how it works try to do it more precisely.

[gugo82]

Questo è un esercizio che proposi tempo fa (e che, se non erro, avevo preso da un vecchio eserciziario di Stampacchia e Greco)... Solo che adesso non trovo il thread.

Ad ogni modo, hai a che fare con una successione definita da:
\[
\begin{cases}
x_{n+1} = \sqrt{2+x_n}\\
x_0 = 0
\end{cases}
\]
ed il suo studio non è difficile.
Prova a stabilire (per induzione, usando la ricorrenza ed il valore iniziale) che $x_n$ è positiva, monotòna e limitata; detto $x$ il suo limite (che esiste come numero reale), calcolalo passando al limite entrambi i membri della ricorrenza.