Funzione sequenzialmente continua

[antonio9992]

Ho trovato questo esempio in rete di funzione sequenzialmente continua ma non continua ( il link credo me l'ha dato javicemarpe):

Si prenda uno spazio topologico X in modo tale che esista un sottoinsieme A la cui chiusura sia strettamente maggiore della sua chiusura sequenziale. Si consideri ogni x che si trovi nella chiusura di A ma non nella sua chiusura sequenziale. Si consideri lo spazio topologico A U {x} e si definisca:
f(y)= 1 se y=x
f(y)=0 altrove

Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:

1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)

Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)

[javicemarpe]

Hi. I didn't send to you any link. In any case, there is not a set $A$ for which its closure is bigger than its "sequential closure" (whatever ir is). Or maybe I misunderstood, could you define what do you mean by chiusura sequenziale?

By the way, your function is not "sequentially continuous" in $x$.

Per accumulazione intendo dire che ogni intorno di un x deve contenere altri punti di {x}. ( non so se accumulazione abbia un significato diverso il topologia generale ma non credo)

An accumulation point $x$ of a set $A$ is a point such that, for all neighbourhood $U$ of $x$, we have that $A\cap(U\backslash\{x\})\ne \emptyset$. I don't know if this was what you wanted to say.

[antonio9992]

L'ho preso da qua:

http://math.stackexchange.com/questions ... -countable

[javicemarpe]

I didn't gave you that link xD Any ways, the example works, but it has not nothing to do with your example because, as I told you there's not a closed set not containing its sequence's limits. I mean, you didn't even copy it properly.

[antonio9992]

Credo di aver capito questo esempio a patto che le mie convinzioni siano buone:

1) {x} è reso aperto dalla nuova topologia (e ovviamente i suoi sottoinsiemi)
2) f(y) è definita da A U {x} ad R
3) dato che la continuità sequenziale deve valere in ogni punto allora ogni punto di {x} deve essere di accumulazione per {x}. (questa parte in realtà non credo di averla capita)

Per quanto riguarda questi 3 punti c'è qualcosa di sbagliato?

[javicemarpe]

On one hand, the set $A$ doesn't exist. On the other hand, if I am correct, you are denoting by $\{x\}$ the set of pointS which are in the closure of $A$ but not in its "sequential closure". That's a bad notation because someone could think that $\{x\}$ is a singleton.

1. Anyways, this set "$\{x\}$" is actually open, because it's the empty set.

2. Then for all subsets $A$ of $X$ you actually have $f$ defined only in $A$ (because your set "$\{x\}$" is the empty set, so $A\cup\{x\}=\emptyset$).

And I don't understand what do you mean with point 3.

[antonio9992]

A non esiste e {x} è vuoto? Ora sono confuso

Perché A non esiste?

Non esiste un punto che appartiene alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale?

[javicemarpe]

Closed sets are sets that contain all the limits of tis convergent sequences, so they are sequentially closed. Then, there are not sets $A$ as you said and, then, for every $A$ the set "$\{x\}$" is empty.

[antonio9992]

Tu intendi dire che A è chiuso e per tal motivo non esiste? Sicuro che un chiuso no esista? A non è un chiuso

Forse A U {x} è chiuso

{x} è l'insieme dei punti che appartengono alla chiusura ma non alla chiusura sequenziale, non dovrebbe essere vuoto

[javicemarpe]

A set $A$ in a topologic space $X$ is closed if and only if it contains the limit of all its convergent sequences. Then, if $A$ is a subset of $X$, you have that its closure is equal to the "sequential closure", so, if "$\{x\}$" is the set of points of the sequential closure of $A$ which are not in the closure of $A$, you have that "$\{x\}$" does not contain any point, i.e., it is empty.